¿El precio de la opción Knock-out va a $0$ cuando el precio de las acciones llega a la barrera $B$ ?

Question

Estoy leyendo el libro de Steven Shreve "Stochastic Calculus for Finance 2 Continuous-Time Models", página 304. Mi intuición es que cuando el precio de la acción se acerca a la barrera, será cada vez más probable que el precio supere la barrera en un futuro próximo, por lo que tiene una gran probabilidad de perder su valor. Esto lleva a la consecuencia de que el precio de la opción debería estar cada vez más cerca de cero. Pero no puedo justificar esta intuición a partir de la fórmula de la página 304. ¿Puede alguien explicarlo? Muchas gracias.

La fórmula es $$V(0)=S(0)I_1-KI_2-S(0)I_3+KI_4$$ donde $$\quad I_1=\frac{1}{\sqrt{2\pi T}}\displaystyle\int_{k}^be^{\sigma w-rT+\alpha w-\frac{1}{2}\alpha^2T-\frac{1}{2T}w^2}dw$$

$$I_2=\frac{1}{\sqrt{2\pi T}}\displaystyle\int_{k}^be^{-rT+\alpha w-\frac{1}{2}\alpha^2T-\frac{1}{2T}w^2}dw$$ y $$\quad I_3=\frac{1}{\sqrt{2\pi T}}\displaystyle\int_{k}^be^{\sigma w-rT+\alpha w-\frac{1}{2}\alpha^2T-\frac{2}{T}b^2+\frac{2}{T}bw-\frac{1}{2T}w^2}dw$$

$$I_4=\frac{1}{\sqrt{2\pi T}}\displaystyle\int_{k}^be^{-rT+\alpha w-\frac{1}{2}\alpha^2T-\frac{2}{T}b^2+\frac{2}{T}bw-\frac{1}{2T}w^2}dw$$

Answer 1

Dejemos que $X_t $ sea un proceso estocástico. Tu pregunta parece demostrar que partiendo de x y para cualquier t la probabilidad de que el tiempo de estar por encima de b sea menor que t tiende a 1 cuando $x\uparrow b$ .

Dejemos que $t>0$ . De hecho, usted quiere probar: $$\mathbb{P}_x(\sup_{s\leq t}X_s \geq b)\to_{x\to b}=1$$

Si no hay más supuestos en $X $ entonces puede ser verdadero o falso.

• Caso 1

Dejemos que $X $ sea un movimiento browniano $$\mathbb{P}_x(\sup_{s\leq t}X_s \geq b)=2\mathbb{P}(W_t\geq b-x)$$ Por el principio de reflexión. Y concluyes que tiende a 1.

• Caso 2

Dejemos que $X $ sea un proceso de Poisson compensado. Es decir $X_t= N_t - \lambda t $ Entonces, condicionando a $N_t=0$ y $N_t>0$ se puede demostrar que el límite cuando $x\to b $ tiende a $1- P (N_t=0)<1$

Answer 2

El principio de reflexión para un movimiento browniano sin rumbo $W_t$ a partir de $W_0=0$ nos dice que la probabilidad de cruzar una barrera $B>0$ antes del vencimiento de la opción $T$ es el doble de la probabilidad de $W_T$ estando por encima de la barrera al vencimiento.

Ahora utilizamos este resultado a la inversa.

Hemos establecido $t=0$ y poner la barrera justo por encima del valor actual de $W_0=0$ al establecer $B=\epsilon$ donde $\epsilon$ es pequeño. Esto es análogo a que el precio de las acciones esté justo por debajo de la barrera.

De la simetría se desprende que la probabilidad de que W_T sea superior o inferior a cero en el momento del vencimiento $T$ será aproximadamente $1/2$ y exactamente $1/2$ como $\epsilon \rightarrow 0$ .

Por lo tanto, la probabilidad de que se supere la barrera en cualquier momento antes del vencimiento será el doble de este número, es decir, tenderá a 1.

Si la barrera es un knock-out, el precio de la opción tenderá a cero.

En la práctica, el proceso de comilla de las acciones tiene una deriva $r$ y es lognormal por lo que los números son un poco diferentes. Sin embargo, se aplica la misma intuición.

Para ver esto en la ecuación del libro de Shreve hay que tener en cuenta que él define en (7.3.3) \begin {eqnarray} b= \frac {1}{ \sigma } \log \frac {B}{S(0)} \end {eqnarray} Así que si $S(0) = B$ entonces $b=0$ . Utilizando las identidades de la página 305 verás que esto significa que $I_1=I_3$ y $I_2=I_4$ . Sustituyendo estos valores en la fórmula de la página 304 que viene dada por \begin {eqnarray} V(0)=S(0)I_1 - K I_2 -S(0)I_3+K I_4, \end {eqnarray} da \begin {eqnarray} V(0)=0. \end {eqnarray} Y así el precio de la opción de noqueo pasa a cero cuando el precio de la acción llega a la barrera.