Puedo ver por qué el Déficit Esperado será subaditivo para una distribución normal o una distribución uniforme. Intento demostrar el resultado para cualquier distribución genérica. He encontrado muchas pruebas disponibles en Internet, pero las matemáticas implicadas son demasiado complejas en todas ellas. ¿Hay alguna explicación sencilla de por qué ES es subaditiva para cualquier distribución genérica?
Respuesta
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El déficit esperado se define por \begin{align*} ES_{\alpha} = \frac{1}{1-\alpha}\int_{\alpha}^1 VaR_{p}(L) dp, \end{align*} donde $L$ es la función de pérdida. Para el caso de 500 escenarios, la $\alpha=99\,\%$ percentil VaR es aproximadamente el $5^{\rm th}$ peor escenario de pérdidas. El déficit esperado puede entonces aproximarse por la media de las 5 peores pérdidas, multiplicada por $-1$ (tomamos $ES_{\alpha}$ sea positiva). Es decir, \begin{align*} ES_{\alpha}(L) = -\frac{1}{5}\sum_{i=1}^5 L(i), \end{align*} donde $L(i)$ es el $i^{\rm th}$ peor escenario de pérdidas. Suponiendo que la pérdida $L$ puede descomponerse en las pérdidas $L_1$ y $L_2$ de dos subcarteras. Es decir $$L=L_1+L_2.$$ Entonces $$L(i) = L_1(i)+L_2(i).$$ Sin embargo, es fácil ver que, aunque $L(1), \ldots, L(5)$ son los 5 peores escenarios de pérdidas de $L$ , $L_j(1), \ldots, L_j(5)$ para $j=1, 2$ no son necesariamente los 5 peores escenarios de pérdidas para $L_j$ . En otras palabras, para $j=1, 2$ , \begin{align*} ES_{\alpha}(L_j) \ge -\frac{1}{5}\sum_{i=1}^5 L_j(i). \end{align*} Entonces \begin{align*} ES_{\alpha}(L) &= -\frac{1}{5}\sum_{i=1}^5 L(i)\\ &=-\frac{1}{5}\sum_{i=1}^5 L_1(i)-\frac{1}{5}\sum_{i=1}^5 L_2(i)\\ &\le ES_{\alpha}(L_1) + ES_{\alpha}(L_2). \end{align*}
