¿Cómo tomar la diferencial de una integral estocástica?

Question

Denote $$X_t = \int^t_0\sigma e^{-k(t-s)}dW_s$$ aquí $W_s$ es el movimiento browniano, $k,\sigma$ son constantes.

Quiero calcular $d X_t$ y la varianza $Var[X_t].$ Sé cómo tomar las derivadas de una integral con parámetros, pero no sé cómo tratar esta integral estocástica.

Answer 1

Puede reescribir $X_t = e^{-kt}Z_t$ y definir $Z_t:=\int_{0}^{t}e^{ks}dW_s$ . Existe una teoría (el lema 4.15 de Björk si se utiliza su libro) que afirma que $$\text{Var}\left[\int_{0}^{t}f(u)dW_s\right]=\int_{0}^{t}(f(u))^2ds$$ Puedes usar eso. Además, puedes usar Ito para calcular $dX_t$ . Según la teoría estándar del cálculo estocástico, la dinámica de $Z_t $ es $dZ_t=e^{kt}dW_t$