Por qué no es posible el precio de los Americanos perpetuo de la llamada opción el uso de inhibidores de la PDE enfoque?

Question

El uso de un estándar de la PDE enfoque para el precio de un Americano perpetuo de opción de obtener que el precio de la opción tiene la siguiente forma: $$ V(S) = a S + B S^{-2r/\sigma^2}. $$ Y entonces necesito encontrar un adecuado $A$ e $B$ coeficientes de tener la solución final. Por último recibo: $$ V(S) = \frac{K\sigma^2}{2r + \sigma^2}\left(\frac{S}{K} \frac{2r + \sigma^2}{2r}\right)^{-2r/\sigma^2}, \quad S \geq S^{*} = \frac{K}{1+\frac{\sigma^2}{2r}}. $$

Este resultado se toma f.e. de 'Paul Wilmott en Finanzas Cuantitativas" del libro.

Mi pregunta es:

Por qué no puedo utilizar la misma técnica para el precio Estadounidense perpetua opción? Cuando me aplican el mismo método puedo conseguir que mi precio de un formulario: $$ V(S) = A S. $$ Pero yo no soy capaz de deducir que el coeficiente de $A$ debe ser igual a $1$.

Puede que alguien me explique donde está la clave de este problema?

Answer 1

Yo sugiero que el primer valor de un perpetuo hacia arriba y fuera de la llamada con una barrera de B por encima de max de huelga de los K y el punto inicial y un reembolso que se paga en la primera barrera de golpe igual a B - K. Entonces maximizar este valor a lo largo del B. Continuar asumimos ninguna dividendos, creo que usted encontrará que la óptima B es infinito y que el arriba y fuera de la llamada de valor converge a punto. Realmente no he hecho el cálculo, pero me parece un ejercicio que vale la pena.

Answer 2

Como sugiere Pedro, que empezar por asumir una política para el ejercicio cuando el precio spot golpea el nivel de $B > K$ por primera vez. A continuación, el valor que coincida con la condición implica

\begin{equation} V(B) = A S = B - K \qquad \Leftrightarrow \qquad A = \frac{B - K}{B}. \end{equation}

Así, por $S \leq B$, tenemos

\begin{equation} V(S) = \left( 1 - \frac{K}{B} \right) S. \end{equation}

Tomando la derivada de w.r.t. $B$ rendimientos

\begin{equation} \frac{\partial V}{\partial B} = \frac{K S}{B^2} \end{equation}

Puesto que esto es estrictamente positivo, se deduce que el $B^* = \infty$ e lo $A^* = 1$. La única excepción es cuando se $S = 0$. En este caso la opción es inútil, no importa lo que el ejercicio de la política que usted emplea.