Derivando $u$ e $d$ coeficientes utilizando el método del árbol binomial

Question

Desde el Casco del libro para derivar los coeficientes de movimientos de ascenso y descenso, $u$ e $d$, del precio de una acción utilizando el método del árbol binomial, en algún momento, tendremos la siguiente ecuación:

$$e^{\mu\Delta t}(u+d) - ud - e^{2\mu\Delta t} = \sigma^2\Delta t.$$

A continuación, se afirma que a partir de la solución de la ecuación anterior obtenemos que $u = e^{\sigma\sqrt{\Delta t}}$ e $d= e^{-\sigma\sqrt{\Delta t}}$. También es de destacar que utilizamos la fórmula de Taylor y lanzando $\Delta t^2$ y superiores términos:

$$e^x = 1 + x + \frac{x^2}{2!} + \frac{x^3}{3!} + \dots.$$

Podrían aclarar cómo vamos a llegar a este resultado?

Hasta el momento puedo obtener mediante la fórmula de Taylor:

$$e^{\mu\Delta t} \approx 1 + \mu\Delta t,$$ $$e^{2\mu\Delta t} \approx 1 + 2\mu\Delta t.$$

Entonces la ecuación anterior se transforma en

$$(1+\mu\Delta t)(u+d) - ud - 1 - 2\mu\Delta t = \sigma^2\Delta t.$$

Estoy confundido de cómo proceder a partir de aquí. Traté de hacer algo de álgebra, pero no dio resultado. Por ejemplo, si asumimos que $ud=1$ entonces tenemos

$$(1+\mu\Delta t)(u+d) - 2(1+\mu\Delta t) = \sigma^2\Delta t,$$ $$(1+\mu\Delta t)(u+d-2) = \sigma^2\Delta t$$ y $$u+d = \frac{\sigma^2\Delta t}{1+\mu\Delta t} + 2$$

Aquí estoy atascado

Answer 1

Suponemos que $u=e^x$ e $d = e^{-x}$. Tenga en cuenta que \begin{align*} u &\approx 1+ x +\frac{x^2}{2}, \textrm{ and}\\ d &\approx 1- x +\frac{x^2}{2}. \end{align*} La sustitución de estos en su última ecuación, \begin{align*} u+d = \frac{\sigma^2 \Delta t}{1+\mu\Delta t} + 2, \end{align*} obtenemos que \begin{align*} x^2 \approx \frac{\sigma^2 \Delta t}{1+\mu\Delta t}. \end{align*} Tenga en cuenta también que \begin{align*} \frac{1}{\sqrt{1+\mu\Delta t}} \approx 1-\frac{1}{2}\mu\Delta t+\frac{3}{8}(\mu\Delta t)^2. \end{align*} En consecuencia, \begin{align*} x & \approx \frac{\sigma \sqrt{\Delta t}}{\sqrt{1+\mu\Delta t}}\approx \sigma \sqrt{\Delta t} -\frac{1}{2}\mu\sigma (\Delta t)^{3/2} + \frac{3}{8}\sigma \mu^2 (\Delta t)^{5/2} \approx \sigma \sqrt{\Delta t}. \end{align*} Es decir, \begin{align*} u &= e^x =e^{\sigma \sqrt{\Delta t}},\\ d &= e^{-x} =e^{-\sigma \sqrt{\Delta t}}. \end{align*}