Volatilidad normal SABR cuando F = K

Question

Mirando los papeles

1. Arbitraje libre SABR (Hagan)
2. Gestión del riesgo para la sonrisa (Hagan)
3. Calibración SABR explícita mediante expansiones simples (Floch)

los 3 documentos tienen formas similares para la expresión de la volatilidad implícita (Normal) pero difieren bastante. Pero esa no es mi pregunta principal.

Cuando F = K, la volatilidad normal implícita se rompe cuando traté de aplicarlos, ya sea dividir por 0 o 0/0.

¿Pueden ayudarme?

Answer 1

Se trata de una cuestión importante si se utiliza SABR en producción.

Si no me equivoco, necesitará este término $$\chi(\zeta) = \log \left( \frac{\sqrt{1-2\rho\zeta+\zeta^2}-\rho+\zeta}{1-\rho} \right)$$ et $\zeta=0$ si $F_0=K$ .

En $\zeta$ es MUY pequeño (por ejemplo, $|\zeta|<10^{-8}$ ), se puede utilizar la expansión de Taylor $$\sqrt{1+\varepsilon} \approx 1+\varepsilon/2-\varepsilon^2/8 \quad \text{and}\quad \log(1+\varepsilon)\approx \varepsilon - \varepsilon^2/2$$ para obtener (asegúrese de mantener ambos $\zeta$ y $\zeta^2$ condiciones) $$\frac{\chi(\zeta)}{\zeta} \approx 1 + \frac{\rho}{2}\zeta.$$