Mirando los papeles
los 3 documentos tienen formas similares para la expresión de la volatilidad implícita (Normal) pero difieren bastante. Pero esa no es mi pregunta principal.
Cuando F = K, la volatilidad normal implícita se rompe cuando traté de aplicarlos, ya sea dividir por 0 o 0/0.
¿Pueden ayudarme?
Se trata de una cuestión importante si se utiliza SABR en producción.
Si no me equivoco, necesitará este término $$ \chi(\zeta) = \log \left( \frac{\sqrt{1-2\rho\zeta+\zeta^2}-\rho+\zeta}{1-\rho} \right) $$ et $\zeta=0$ si $F_0=K$ .
En $\zeta$ es MUY pequeño (por ejemplo, $|\zeta|<10^{-8}$ ), se puede utilizar la expansión de Taylor $$\sqrt{1+\varepsilon} \approx 1+\varepsilon/2-\varepsilon^2/8 \quad \text{and}\quad \log(1+\varepsilon)\approx \varepsilon - \varepsilon^2/2$$ para obtener (asegúrese de mantener ambos $\zeta$ y $\zeta^2$ condiciones) $$ \frac{\chi(\zeta)}{\zeta} \approx 1 + \frac{\rho}{2}\zeta. $$
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Es posible que tenga que escribir las fórmulas de volatilidad implícita en los documentos mencionados para su revisión, ya que no tenemos ni idea de cómo ocurrió su 0/0. Para $K=F$ la fórmula debería ser mucho más sencilla.
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Para el documento "Gestión del riesgo de sonrisa", por ejemplo, supongo que se refiere a la ecuación (A.59a) . En este caso se ve que el primer término $\left(\frac{\varepsilon\alpha(f-K)}{\int_K^f \frac{df'}{C(f')}}.\left(\frac{\xi}{x(\xi)}\right)\right)$ se convierten en una forma indeterminada cuando $f \rightarrow K$ . Puede calcular este límite (una expansión de Taylor hará el trabajo), que es la forma preferible, o puede tomar un límite numérico en su lugar ( $f = K+0.0001$ por ejemplo) para sus cálculos.