Hace poco conocí la afirmación de que para las put y call estándar la gamma de las opciones es siempre positiva. ¿Es este un resultado general?
Espero no asumir ningún modelo, especialmente el Black-Scholes.
Respuesta
¿Demasiados anuncios?
Utilizaré una opción de compra europea como ejemplo, creo que se puede generalizar fácilmente para una opción de venta.
Dada la situación subyacente $S(t) = S_t$ , madurez $T$ , huelga $K$ y la tasa libre de riesgo $r$ el precio de una opción de compra en función del tiempo $t$ bajo la medida neutra de rik $Q$ es
$$ \begin{align} C(t, S_t) & = \mathbb{E}^Q \left[ e^{-r(T-t)} \max (S_T - K, 0) \right] \\ & = \mathbb{E}^Q \left[ e^{-r(T-t)} (S_T - K) \cdot \mathbb{1}_{S_T \geq K} \right] \\ & = \mathbb{E}^Q \left[ e^{-r(T-t)} S_T \cdot \mathbb{1}_{S_T \geq K} \right] - \mathbb{E}^Q \left[ K e^{-r(T-t)} \cdot \mathbb{1}_{S_T \geq K} \right] \\ & = e^{-r(T-t)} \mathbb{E}^Q \left[ S_T \cdot \mathbb{1}_{S_T \geq K} \right] - K e^{-r(T-t)} \mathbb{E}^Q \left[ \mathbb{1}_{S_T \geq K} \right] \\ \end{align} $$
donde $\mathbb{1}_{S_T \geq K}$ es una función de valores $1$ cuando $S_T \geq K$ y $0$ de lo contrario. Para la primera expectativa, podemos cambiar la medida de la probabilidad para hacerla más manejable. Llamemos a $P$ la nueva medida; la derivada de Radon-Nikodym entre el $P$ y $Q$ es
$$dQ = \frac{S_t}{S_T} e^{r(T-t)} dP$$
Por lo tanto, se obtiene
$$ \begin{align} C(t, S_t) & = e^{-r(T-t)} \mathbb{E}^Q \left[ S_T \cdot \mathbb{1}_{S_T \geq K} \right] - K e^{-r(T-t)} \mathbb{E}^Q \left[ \mathbb{1}_{S_T \geq K} \right] \\ & = e^{-r(T-t)} \mathbb{E}^P \left[ S_T \cdot \mathbb{1}_{S_T \geq K} \cdot \frac{S_t}{S_T} e^{r(T-t)} \right] - K e^{-r(T-t)} \mathbb{E}^Q \left[ \mathbb{1}_{S_T \geq K} \right] \\ & = e^{-r(T-t)} \mathbb{E}^P \left[ \mathbb{1}_{S_T \geq K} S_t e^{r(T-t)} \right] - K e^{-r(T-t)} \mathbb{E}^Q \left[ \mathbb{1}_{S_T \geq K} \right] \\ & = S_t \mathbb{E}^P \left[ \mathbb{1}_{S_T \geq K} \right] - K e^{-r(T-t)} \mathbb{E}^Q \left[ \mathbb{1}_{S_T \geq K} \right] \\ \end{align} $$
Expandiendo las expectativas como integrales se obtiene:
$$ \begin{align} C(t, S_t) & = S_t \int_K^{\infty} f^P(S_T) dS_T - K e^{-r(T-t)} \int_K^{\infty} f^Q(S_T) dS_T \\ & = S_t P_1 - K e^{-r(T-t)} P_2 \end{align} $$
donde $P_1, P_2$ Destacar que las integrales son probabilidades.
Ahora los griegos:
$$ \begin{align} \Delta & = \frac{\partial C}{\partial S_t} = \int_K^{\infty} f^P(S_T) dS_T = P_1 \\ \Gamma & = \frac{\partial^2 C}{\partial S_t} = \frac{\partial \Delta}{\partial S_t} = f^P(S_t) \frac{\partial f^P(S_t)}{\partial S_t} \\ \end{align} $$
La derivada en $\Gamma$ es la clave. No creo que puedas probar $\Gamma$ sea positiva para cualquier densidad de probabilidad (es decir, cualquier modelo).
