Tengo una opción de compra europea con el precio actual de las acciones $S_0$ huelga $K$ Tipo sin riesgo $r$ volatilidad $\sigma$ y plazo de vencimiento $T$ años.
Supongo que el precio de las acciones en el momento $t$ que viene dado por $S_t$ sigue un movimiento browniano geométrico.
Necesito utilizar el método de valoración delta-normal para calcular el VaR del 95% en un horizonte de 3 días para una posición larga en la opción de compra. ¿Cómo lo hago?
Podría simular muchas (100000) trayectorias de precios de 3 días para la acción utilizando el movimiento browniano geométrico. A continuación, para cada trayectoria simulada, calcular el valor de la opción y almacenarlos. A continuación, calcule la diferencia de rentabilidad para cada una de las opciones de compra y ordénelas de menor a mayor. El límite del 5% es su VaR del 95% a 3 días.
Cuando el precio de la acción sigue un GBM, el valor libre de arbitraje de una opción de compra de la UE viene dado por el modelo de Black Scholes:
\begin{align} C(S, t) &= N(d_1)S_0 - N(d_2) Ke^{-r(T - t)} \\ d_1 &= \frac{1}{\sigma\sqrt{T - t}}\left[\ln\left(\frac{S_0}{K}\right) + \left(r + \frac{\sigma^2}{2}\right)(T - t)\right] \\ d_2 &= d_1 - \sigma\sqrt{T - t} \end{align}
El precio de las acciones viene dado por $$S_t=S_0e^{(r-\sigma^2/2)t+tW_t},\quad W_t\sim N(0,t)$$
$S_t$ es el único término aleatorio y log-normally distribuido.
Su función inversa para el cuantil del VaR sólo puede calcularse numéricamente como mediante MATLAB logninv (suponiendo 250 días de negociación): $$VaR_\alpha^S=\text{logninv}\left(\alpha,\mu_S=(r-\sigma^2)/2,\sigma_S=3/250\right)$$
Como sabemos, el delta de la opción de compra es positivo, de forma que su valor siempre caerá y aumentará con el precio de la acción. De ahí que el VaR de la opción sea
$$VaR_\alpha^C=C(S_0,0)-C(VaR_\alpha^S, 3/250)$$
que corresponde a la pérdida en el $\alpha$ cuantil.
El valor de la opción también cae de forma determinista con la disminución del tiempo hasta el vencimiento, como representa el griego theta : $$Theta(t)=\frac{\partial C}{\partial t}= -\frac{S_0 N'(d_1) \sigma}{2 \sqrt{T - t}} - rKe^{-r(T - t)}N(d_2)\, -\frac{S_0 N'(d_1) \sigma}{2 \sqrt{T - t}} + rKe^{-r(T - t)}N(-d_2)$$ Sin embargo, esa pérdida ya está incluida en el cálculo de la diferencia $C(S_0,0)-C(VaR_\alpha^S, 3/250)$ .
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