Supongamos que una acción sigue un proceso Itô con volatilidad instantánea $\sigma(S(t),t)$ . Precisamente
$$dS(t)=\mu S(t)dt+\sigma(S(t),t)S(t)dW(t)$$
Tengo un histórico de los valores de $S(t)$ ¿Cómo puedo estimar las volatilidades instantáneas $\sigma(S(t),t)$ que tuvo lugar en cada día de este histórico diario ¿series de datos?
Esto depende de cómo se defina $\sigma(S(t), t)$ . Como ha señalado @james42, si la volatilidad es constante, es decir $\sigma(S(t), t) = \sigma $ , entonces se puede calcular $\sigma$ tomando la desviación estándar de la rentabilidad logarítmica diaria $r_t$ definido $r_t = ln(S_t / S_{t-1})$ , donde $ln$ es el logaritmo natural. Si hay evidencias empíricas que sugieren que la volatilidad no es constante, entonces se puede utilizar una plétora de modelos de la familia GARCH disponibles en la literatura.
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La frecuencia es de datos diarios
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Parece que quieres elegir un volatilidad estocástica modelo y estimar los parámetros (p. ej. GARCH )
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Nota: en el caso de GBM, se supone que la volatilidad es constante, por lo que es incluso incorrecto escribir $\sigma(S(t),t)$ . Su pregunta tiene más sentido si se considera para un proceso Ito genérico, como el modelo Heston. Sin embargo, el procedimiento estándar para estimar la volatilidad instantánea (e incluso la volatilidad constante) suele llevarse a cabo con máxima verosimilitud bajo la medida P. Mire aquí para más detalles: princeton.edu/~yacine/stochvol.pdf