El Movimiento Browniano geométrico - ¿por Qué Sqrt(dt)?

Question

Yo iba a simular un movimiento browniano geométrico en matlab, cuando me di cuenta de que yo no entender completamente el subyacente proceso de Wiener. Siguiendo las instrucciones aquí estoy a partir de la forma:

Donde el $dW_t$ denota el proceso de Wiener. Por lo $E(dW_t)=0$ e $Var(dW_t) = dt$, ¿verdad? También podría escribir $dW_t = W_{dt}$? Porque pienso que el segundo de manera más intuitiva. Así que puede simular $dW_t$ mediante la simulación de $X \sim N(0,1)$ y, a continuación,$dW_t = X\sqrt{dt}$?.

El siguiente paso es la discretización de la diferencial plazo. Así que me escriba a: $S_{t+dt} = S_t + S_t \mu dt + S_t \sigma X \sqrt{dt}$

$S_{t+dt} = S_t*(1+ \mu dt + \sigma X \sqrt{dt})$

$S_{t+dt} = S_t*(1+ r_{dt})$

$S_{T} = S_0 *(1+r_1)*(1+r_2)*...*(1+r_T)$

Donde $r_{dt}$ significa que la tasa después de cada paso. $T$ es la hora de finalización. Así que escribí la siguiente matlab código. Algunos se verifica este código por favor?

function [x,y]= brown_data(T, dt,sigma, mu, y0)
x = 0:dt:T;
y = zeros(size(x));
dws = normrnd(0,1,1,numel(x)-1);
tic
ratesPlus1 = [y0 ,1 + mu*dt + sigma*dws*sqrt(dt) ];
y = cumprod(ratesPlus1);
toc
end

Answer 1

Su procedimiento es correcto.

Sin embargo, dado que la población sigue una GBM tiene una forma cerrada de la solución, lo que producirá resultados más precisos.

$S_{t+\Delta t}=S_te^{(\mu-0.5\sigma^2)\Delta t+\sigma \sqrt{\Delta t}X_{t+\Delta t}}$

He aquí un código de matlab con el método anterior:

clear all
% GBM stock price

t = 250;
nsim = 1000;

S = NaN(nsim, t);
Sminus = NaN(nsim, t);


dt = 1/250;

S(:,1) = 100;
mu = 0.08;
sigma = 0.2;
r = 0.08;

epsilon = normrnd(0,1,nsim,t);

% Stock Price Path

for i = 2:250
    S(:,i) = S(:,i-1).*exp((mu-0.5*sigma^2)*dt+sigma*sqrt(dt).*epsilon(:,i));
end