Lema de Ito de los bonos convertibles bajo el modelo de dos factores Tipo de interés

Question

@Behrouz Maleki ha proporcionado la EDP del modelo de dos factores en otro puesto así que ¿podría alguien proporcionar el lema de Ito de esta ecuación y cómo se derivó esta EDP del modelo de Vasicek?

Answer 1

Dejemos que $V(t, r_t, S_t)$ sea el precio del bono convertible en el momento $t$ , donde \begin {align*} dS_t &= S_t(r_t dt + \sigma dW_t^1) \\ dr_t &= \kappa ( \theta -r_t)dt+ \Sigma dW_t^2, \end {align*} y donde $\{W_t^1, \, t\ge 0\}$ y $\{W_t^2, \, t\ge 0\}$ son dos movimientos brownianos estándar con $d\langle W^1, W^2\rangle_t = \rho dt$ . Entonces, \begin {align*} &\ dV(t, r_t, S_t) \\ =&\ \frac { \partial V}{ \partial t}dt + \frac { \partial V}{ \partial r}dr_t + \frac { \partial V}{ \partial S}dS_t \\ & \quad + \frac {1}{2} \frac { \partial ^2 V}{ \partial r^2}d \langle r, r \rangle_t + \frac {1}{2} \frac { \partial ^2 V}{ \partial S^2}d \langle S, S \rangle_t + \frac { \partial ^2 V}{ \partial S \partial r}d \langle S, r \rangle_t\\ =&\ \left ( \frac { \partial V}{ \partial t} + \kappa ( \theta -r_t) \frac { \partial V}{ \partial r} + r_tS_t \frac { \partial V}{ \partial S} + \frac {1}{2} \Sigma ^2 \frac { \partial ^2 V}{ \partial r^2} + \frac {1}{2} \sigma ^2 S_t^2 \frac { \partial ^2 V}{ \partial S^2} + \rho\sigma\Sigma\frac { \partial ^2 V}{ \partial S \partial r} \right )dt \\ &\ + \Sigma \frac { \partial V}{ \partial r}dW_t^2 + \sigma S_t \frac { \partial V}{ \partial S}dW_t^1. \end {align*} Observamos que, bajo la medida de riesgo neutral, $\{e^{-\int_0^t r_s ds} V_t, \, t \ge 0\}$ es una martingala. Por el lema de Ito, \begin {align*} d \left (e^{- \int_0 ^t r_s ds} V_t \right ) &= -r_t e^{- \int_0 ^t r_s ds} V_t dt + e^{- \int_0 ^t r_s ds} dV_t \\ &= e^{- \int_0 ^t r_s ds} \bigg [ \bigg (-r_t V_t + \frac { \partial V}{ \partial t} + \kappa ( \theta -r_t) \frac { \partial V}{ \partial r} + r_tS_t \frac { \partial V}{ \partial S} \\ & \qquad\qquad\qquad + \frac {1}{2} \Sigma ^2 \frac { \partial ^2 V}{ \partial r^2} + \frac {1}{2} \sigma ^2 S_t^2 \frac { \partial ^2 V}{ \partial S^2} + \rho\sigma\Sigma\frac { \partial ^2 V}{ \partial S \partial r} \bigg )dt \\ & \quad + \Sigma \frac { \partial V}{ \partial r}dW_t^2 + \sigma S_t \frac { \partial V}{ \partial S}dW_t^1 \bigg ]. \end {align*} Por la propiedad de martingalidad, \begin {align*} & -r_t V_t + \frac { \partial V}{ \partial t} + \kappa ( \theta -r_t) \frac { \partial V}{ \partial r} + r_tS_t \frac { \partial V}{ \partial S} \\ & \qquad + \frac {1}{2} \Sigma ^2 \frac { \partial ^2 V}{ \partial r^2} + \frac {1}{2} \sigma ^2 S_t^2 \frac { \partial ^2 V}{ \partial S^2} + \rho\sigma\Sigma\frac { \partial ^2 V}{ \partial S \partial r}=0. \tag {1} \end {align*} Esta es la EDP satisfecha por el precio del instrumento. Si los movimientos brownianos $\{W_t^1, \, t\ge 0\}$ y $\{W_t^2, \, t\ge 0\}$ son independientes, es decir, $\rho=0$ , entonces la ecuación $(1)$ se convierte en \begin {align*} -r_t V_t + \frac { \partial V}{ \partial t} + \kappa ( \theta -r_t) \frac { \partial V}{ \partial r} + r_tS_t \frac { \partial V}{ \partial S} + \frac {1}{2} \Sigma ^2 \frac { \partial ^2 V}{ \partial r^2} + \frac {1}{2} \sigma ^2 S_t^2 \frac { \partial ^2 V}{ \partial S^2} =0. \tag {2} \end {align*}

Answer 2

La respuesta de Gordon es agradable (+1). Quiero añadir la otra solución.

Observación 1

Dejemos que $X=(X_1,X_2,...,X_n)$ donde el componente $X_i$ tiene una diferencial estocástica de la forma $$dX_i(t)=\mu_i(t)dt+\sum_{j=1}^{d}\sigma_{ij}(t)dW_j(t)$$ donde $dW_k(t)dW_j(t)=\rho_{kj}dt$ para todos $k,j\in\{1,2,...,d\}$ . Sea $f:\mathbb{R}^+\times\mathbb{R}^n\to\mathbb{R}\in\mathbb{C}^{1,2}.$ Por aplicación del lema de Ito, tenemos $$df(t,X_1,...,X_n)=\frac{\partial f}{\partial t}dt+\sum_{i=1}^{n}\frac{\partial f}{\partial x_i}dX_i+\frac 12\sum_{i=1}^{n}\sum_{l=1}^{n}\frac{\partial ^2f}{\partial x_i\partial x_l}dX_idX_l\tag 1$$

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Observación 2

Supongamos que el tipo corto $r_t$ sigue el proceso Ito descrito por la siguiente ecuación diferencial estocástica $$dr_t=\mu(t,r_t)dt+\sigma(t,r_t)dW_t$$ y $P(t,T)$ denota el precio del bono de cupón cero con vencimiento $T$ . Podemos mostrar $$\frac{\partial P}{\partial t}+\mu(t,r_t)\frac{\partial P}{\partial r}+\frac{1}{2}\sigma^2(t,r_t)\frac{\partial^2 P}{\partial r^2}-r_tP=0\tag 2$$

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Observación 3

Dejemos que $$\qquad dS_t=rS_t+\sigma S_tdW_1(t)\\ \quad\qquad\quad dr_t=\kappa(\theta-r_t)dt+\Sigma dW_2(t)\\ dW_1(t)dW_2(t)=0\tag 3$$

Ahora formamos una cartera compuesta por una opción $V=V(t,S,r,T,K)$ (Posición corta), $\Delta_1$ unidades de la acción (posición larga) y $\Delta_2$ unidades del $T-$ precio del bono de cupón cero (posición larga). La cartera tiene valor $$\Pi=\Delta_1S_t+\Delta_2 P(t,T)-V(t,S,r,T,K)$$ por lo tanto $$d\Pi=\Delta_1dS_t+\Delta_2dP(t,T)-dV(t,S,r,T,K)\tag 4$$ Por aplicación del lema de Ito, tenemos $$dV_t=\frac{\partial V}{\partial t}dt+\frac{\partial V}{\partial s}dS+\frac{\partial V}{\partial r}dr+\frac 12\left(\sigma^2\frac{\partial^2 V}{\partial s^2}+\Sigma^2\frac{\partial^2 V}{\partial r^2}\right)dt\tag 5$$ y $$dP=\frac{\partial P}{\partial t}dt+\frac{\partial P}{\partial r}dr+\frac{1}{2}\Sigma^2\frac{\partial^2 P}{\partial r^2}dt\tag 6$$ $(4)\,,\,(5)\,,(6)$ y $(3)$ $$d\Pi =-\left( \frac{\partial V}{\partial t}+\frac{1}{2}{{\sigma }^{2}}{{S}^{2}}\frac{{{\partial }^{2}}V}{\partial {{S}^{2}}} \right)dt+\left( \Delta _1-\frac{\partial V}{\partial S} \right)dS\\+\left( \Delta _2\frac{\partial P}{\partial r}\,-\frac{\partial V}{\partial r} \right)dr+\Delta _2\,\left( \frac{\partial P}{\partial t}+\frac{1}{2}{{\Sigma }^{2}}\frac{{{\partial }^{2}}P}{\partial {{r}^{2}}} \right)dt\,$$ A continuación, encontramos los valores de $\Delta_1$ y $\Delta_2$ que hace que la cartera no tenga riesgo. En efecto, fijamos $$ \Delta_1=\frac{\partial V}{\partial S}\\ \Delta_2=\frac{\frac{\partial V}{\partial r}}{\frac{\partial P}{\partial r}}$$ así $$d\Pi =-\left( \frac{\partial V}{\partial t}+\frac{1}{2}{{\sigma }^{2}}{{S}_{t}}^{2}\frac{{{\partial }^{2}}V}{\partial {{S}^{2}}}+\frac{1}{2}{{\Sigma }^{2}}\frac{{{\partial }^{2}}V}{\partial {{r}^{2}}} \right)dt+\Delta {{}_{2}}\,\left( \frac{\partial P}{\partial t}+\frac{1}{2}{{\Sigma }^{2}}\frac{{{\partial }^{2}}P}{\partial {{r}^{2}}} \right)dt\tag 7$$ $(2)$ y $(7)$ $$d\Pi =-\left( \frac{\partial V}{\partial t}+\frac{1}{2}{{\sigma }^{2}}{{S}^{2}}\frac{{{\partial }^{2}}V}{\partial {{S}^{2}}}+\frac{1}{2}{{\Sigma }^{2}}\frac{{{\partial }^{2}}V}{\partial {{r}^{2}}} \right)dt+\Delta {{}_{2}}\,\left( {{r}_{t}}\,P-\kappa \left( \theta -r \right)\,\frac{\partial P}{\partial r} \right)dt\tag 8$$ La condición de que la cartera gane la tasa libre de riesgo, $r$ implica que la variación del valor de la cartera es $$d\Pi=r\Pi dt$$ En otras palabras $$d\Pi =(\Delta _1r_t\,S_t+\Delta_2r_tP-r_tV)dt\tag 9$$ $(8)$ y $(9)$ $$\frac{\partial V}{\partial t}+{{r}_{t}}\,{{S}_{t}}\frac{\partial V}{\partial S}+\kappa \left( \theta -r \right)\frac{\partial V}{\partial t}+\frac{1}{2}{{\sigma }^{2}}{{S}^{2}}\frac{{{\partial }^{2}}V}{\partial {{S}^{2}}}+\frac{1}{2}{{\Sigma }^{2}}\frac{{{\partial }^{2}}V}{\partial {{r}^{2}}}-{{r}_{t}}V=0$$