Fórmula Ito para Integral Estocástica

Question

Supongamos que tengo %-%-%$ ¿Cuál sería el proceso que satisfaga el siguiente proceso de %-%-%? $$dS_t = \mu(S_t,t) dt + \sigma(S_t,t)dW_t$$

No estoy muy seguro acerca de la diferenciación $y_t$. Lo siguiente es lo que hice $$y_t = \int_0^t S_u du + \int_0^t S_u dW_u$$ Y $y_t$$

¿Son correctos? Entonces la Fórmula de Ito da $$\frac{\partial y_t}{\partial S_t} =dt +dW_t $$

Pero esto se siente mal.

Answer 1

@Olaf dio una respuesta clara. Otra forma de ver esto es como sistema de 2 SDEs:

\begin{cases} dS_u &= \mu(S_u,u) du + \sigma(S_u,u) dW_u \ dy_u &= S_u du + S_u dW_u. \endcasos

Por ejemplo, si queremos simular este sistema usando Euler discretuzation entonces realizamos \begin{cases} S_u + \Delta S_u &= S_u + \mu(S_u,u) \Delta t + \sigma(S_u,u) \epsilon \sqrt{\Delta t} \ y_u + \Delta y_u &=y_u + S_u \Delta t + S_u \epsilon \sqrt{\Delta t} \endcasos para un paso de tiempo elegido %-%-% y en el que %-%-% es normal estándar y se muestrea en cada iteración.