¿Cómo se consigue esta limitación presupuestaria?

Question

Tengo una ecuación de Euler $ (\frac{ c_ {t+1} }{c_t})^\sigma = \beta (1+r)$ donde $c_t$ es el consumo del periodo t, r es el tipo de interés y $\beta$ es la tasa de descuento, y una restricción presupuestaria $\sum _{t=0}^\infty \frac{c_t}{(1+r)^t}=\sum _{t=0}^\infty \frac{y_t}{(1+r)^t}$ , donde $y_t$ es el ingreso.

Mi pregunta es cómo sustituir la ecuación de Euler en la restricción presupuestaria para obtener la siguiente ecuación.

$c_t\sum_{j=0}^\infty\frac{[\beta(1+r)]^\frac{j}{\sigma}}{(1+r)^j}=\sum _{t=0}^\infty \frac{y_t}{(1+r)^t}$

Answer 1

La pista es utilizar la ecuación recursiva de Euler para expresar todos los consumos futuros $c_{t+j}$ en función del consumo de corriente $c_t$ y jugar con los índices en la suma de la izquierda.

Answer 2

Una pista: Separar los periodos de consumo $$\begin{align} \left(\frac{ c_ {t+1} }{c_t}\right)^\sigma & = \beta (1+r) \\ \frac{ c_ {t+1} }{c_t} & = \left[\beta (1+r) \right]^\frac{1}{\sigma} \\ c_ {t+1} & = c_t \left[\beta (1+r) \right]^\frac{1}{\sigma} \\ \end{align}$$

Observe que $(\frac{ c_ {t+2} }{c_{t+1}})^\sigma = \beta (1+r)$ . Así que,

$$c_ {t+2} = c_{t+1} \left[\beta (1+r) \right]^\frac{1}{\sigma} = c_{t} \left[\beta (1+r) \right]^{\frac{1}{\sigma} \cdot 2}$$

Así que

$$\sum _{t=0}^\infty \frac{c_t}{(1+r)^t}$$

puede expresarse como una serie geométrica y simplificarse. Si lo calculas tú mismo, obtendrás la respuesta deseada.