Deje que$W_{t}$ sea un movimiento browniano. Verifique que las variaciones del movimiento browniano de orden superior, digamos, del orden tres, desaparezcan. Intento demostrar que$\lim_{n\rightarrow\infty}\sum^{n}_{i=1}(W_{t_{i}}-W_{t_{i-1}})^{3}=0$ pero tengo problemas para continuar con el paso. ¡Gracias!
Respuesta
¿Demasiados anuncios?
Asumiré que la convergencia es probable y que la partición$\Pi_n$ está dada por \begin{align*} 0=t_0 < t_1 < \cdots < t_n = t. \end {align *} Tenga en cuenta que$$\mathbb{E}\big((W_{t_i}-W_{t_{i-1}})^3 \big)=0,$$ and $$\mathbb{E}\big((W_{t_i}-W_{t_{i-1}})^6 \big)=15(t_i-t_{i-1})^3.$ $ Let$\|\Pi_n\| = \max_{i=1}^n|t_i-t_{i-1}|$. Luego, para cualquier pequeño$\delta>0$, por desigualdad de Chebyshev, \begin{align*} \mathbb{P}\Big(\Big|\sum_{i=1}^n (W_{t_i}-W_{t_{i-1}})^3\Big| > \delta \Big)& \leq \frac{1}{\delta^2}\mathbb{E}\bigg(\Big( \sum_{i=1}^n (W_{t_i}-W_{t_{i-1}})^3\Big)^2\bigg)\\ &=\frac{1}{\delta^2}\mathbb{E}\bigg( \sum_{i,j=1}^n (W_{t_i}-W_{t_{i-1}})^3(W_{t_j}-W_{t_{j-1}})^3\bigg)\\ &=\frac{1}{\delta^2}\mathbb{E}\Big( \sum_{i=1}^n (W_{t_i}-W_{t_{i-1}})^6\Big)\\ &=\frac{15}{\delta^2}\sum_{i=1}^n (t_i-t_{i-1})^3\\ &\leq \frac{15\, t}{\delta^2}\|\Pi_n\|^2. \end {align *} Es decir,$$\lim_{n\rightarrow \infty} \mathbb{P}\Big(\Big|\sum_{i=1}^n (W_{t_i}-W_{t_{i-1}})^3\Big| > \delta \Big) = 0.$ $ Por lo tanto, para cualquier$t>0$,$$\lim_{n\rightarrow \infty} \sum_{i=1}^n (W_{t_i}-W_{t_{i-1}})^3 = 0$ $ in probabilidad.
