Quiero calcular $E_t[(X_T-K)^+]$ donde $$dX_t=\frac{3}{X_t}dt+2X_t dW_t$$ et $X_0=x$ . No sé cómo extact la solución fuerte de este SDE. De hecho, he utilizado el lema de Ito, pero no era usefule.
Gracias por su atención.
No deberías decirlo: "El lema de Ito no era útil". Set $$Y_t=-2W_t+2t\tag 1$$ Nota $W_0=0$ así $Y_0=0$ Tenemos $$dY_t=2\,dt-2\,dW_t\tag 2$$ Establecer $Z_t=e^{Y_t}$ . Por aplicación del lema de Ito, tenemos $$dZ_t=e^{Y_t}\,dY_t+\frac{1}{2}e^{Y_t}d[Y_t,Y_t]\tag 3$$ por lo tanto $$dZ_t=4e^{Y_t}dt-2\,e^{Y_t}dW_t=4Z_tdt-2Z_tdW_t\tag 4$$ por otra parte $$d(X_t\,Z_t)=Z_t\,dX_t+X_t\,dZ_t+d[X_t,Z_t]\tag 5$$ así $$d(X_t\,Z_t)=\frac{3Z_t}{X_t}dt\tag 6$$ En otras palabras $$d(X_t\,Z_t)=\frac{3Z_t^2}{X_tZ_t}dt\tag 7$$ configure $R_t=X_tZ_t$ . Tenemos $$dR_t=\frac{3Z_t^2}{R_t}dt\tag 8$$ Esto puede resolverse como una EDO regular con variables separables : $$R_t\,dR_t=3Z_t^2\, dt$$ et $$\frac{1}{2}R_t^2-\frac{1}{2}R_0^2=3\int_0^{t}Z_s^2ds\\ \frac{1}{2}R_t^2-\frac{1}{2}x^2=3\int_0^{t}Z_s^2ds\tag 9$$ entonces $$X_t^2=e^{-2Y_t}\left(x^2+6\int_0^{t}e^{2Y_s}ds\right)\tag {10}$$ Por último
$$\color{red}{X_t^2=e^{4W_t-4t}\left(x^2+6\int_0^{t}e^{-4W_s+4s}ds\right)\tag{11}}$$
Ahora ¿Cómo se puede calcular $\mathbb{E}_t[(X_T-K)^+]?$
Tenga en cuenta que \begin{align*} d\left(X_t^2\right) &= 2X_t dX_t + d\langle X, X\rangle_t\\ &=(6+4X_t^2)dt + 4X_t^2dW_t, \end{align*} que puede resolverse mediante la técnica con un factor integral . En concreto, observe que \begin{align*} d\left(e^{4t-4W_t}X_t^2 \right) &= X_t^2 d\left(e^{4t-4W_t}\right) + e^{4t-4W_t} d(X_t^2) + \left\langle d\left(e^{4t-4W_t}\right), d(X_t^2) \right\rangle\\ &=e^{4t-4W_t}X_t^2(12dt-4dW_t)\\ &\quad +e^{4t-4W_t}\left[(6+4X_t^2)dt + 4X_t^2dW_t\right]- 16 e^{4t-4W_t}X_t^2 dt\\ &=6e^{4t-4W_t} dt. \end{align*} Entonces \begin{align*} e^{4t-4W_t}X_t^2 &= x^2+6\int_0^t e^{4s-4W_s} ds. \end{align*} Eso es, \begin{align*} X_t^2 = e^{4W_t-4t}\left(x^2+6\int_0^t e^{4s-4W_s} ds \right). \end{align*}
Una nota general. Para una ecuación \begin{align*} dY_t = (aY_t+b)dt + (cY_t+d) dW_t, \end{align*} podemos aplicar un factor integral de la forma $$e^{(-a+\frac{1}{2}c^2)t -cW_t}.$$
Gracias. ¿Por qué debemos utilizar la dinámica de $X_t^2$ en lugar de dinámica de $X_t^3$ o $X_t^4$ ?
Eso se basa en la estructura de su ecuación. Con $X_t^2$ se puede tener una ecuación cuyos coeficientes sean funciones lineales de $X_t^2$ . Para $X_t^3$ y $X_t^4$ no tienen una propiedad tan bonita. La ecuación para $X_t^2$ no surge arbitrariamente: si se multiplica $X_t$ a ambos lados de tu ecuación, verás instantáneamente la relación con $X_t^2$ .
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