Dejemos que $u=1.3$ $d=0.9$ $r=.05$ $S(0)=50, X = \text{strike} = 60$ . Supongamos un modelo binomial
Por qué no es la probabilidad neutral al riesgo que se encuentra resolviendo lo siguiente para $p$ : $$E[S(T)]=p65+(1-p)45=S(0)(1+r)^T=60(1.05)$$
Como las probabilidades neutrales al riesgo deben ser las mismas en todos los pasos de tiempo, sólo tomé $T=1$
Lo correcto $p=0.375$
[Respuesta corta]
Usted escribe $E [S_T]=S_0(1+r)^T $ pero en realidad se calcula la RHS como $X (1+r)^T$ en su aplicación numérica.
[Respuesta larga]
El el precio de las acciones es una martingala en una medida equivalente utilizando el activo libre de riesgo como numerario es decir
$$ E [S(T)] = (S_0 u) q + (S_0 d) (1-q) = S_0 (1 + r ) \Delta t $$
En ese caso, dividiendo cada miembro por $S_0$ y reordenando los términos se obtiene
$$ q ( u - d ) + d = (1 + r ) \Delta t $$ $$ q = \frac {(1 + r ) \Delta t - d}{u - d} $$
Haciendo los cálculos con sus datos de entrada (asumiendo que un periodo de árbol cubre $\Delta t=1$ ) $$ q = \frac {(1+0.05) - 0.9}{1.3-0.9} = 0.375 $$
Obsérvese que esta expresión para $q $ es exactamente el que se da en cualquier libro de texto proporcionado $u $ (resp. $d $ ) calcula la tasa de crecimiento ascendente (o descendente) de las existencias durante un período de árbol binomial $\Delta t $ , mientras que $1 + r $ representa la tasa de crecimiento del activo libre de riesgo.
Tenga en cuenta que a veces se utiliza la composición continua, en cuyo caso:
$$ q = \frac {e^{r \Delta t} - d}{u - d} $$
Dependiendo de la convención de composición también podría tener
$$ q = \frac {(1 + r)^{ \Delta t} - d}{u - d} $$
por supuesto.
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