El juego de los dados y el comercio de derivados

Question

Me pasó con una pregunta de la entrevista:

Da un dado igual, ganarás el dinero que sea el número que saques, entonces cuánto pagarás por el juego.

Naturalmente, la respuesta es 3,5. Pero la entrevista dijo, el juego de dados no son los derivados, no tienes nada para cubrirlo, entonces eres un especulador. Así que la respuesta no es 3,5.

¿Qué quería decir?

Answer 1

El entrevistador quiso decir que es inteligente. Citando al Vicepresidente Senior de Operaciones de Personas en Google ,

En cuanto a la contratación, descubrimos que los juegos de ingenio son un completo desperdicio de tiempo. ¿Cuántas pelotas de golf caben en un avión? ¿Cuántas gasolineras estaciones de servicio en Manhattan? Una completa pérdida de tiempo. No predicen nada. Sirven principalmente para que el entrevistador se sienta inteligente.

Dejando esto de lado, un posible enfoque sería invocar Utilidad esperada de Von Neumann-Morgernstern para construir un valor equivalente de certeza para la apuesta basado en su nivel de aversión al riesgo.

Las funciones de utilidad se utilizan para definir un pedido total sobre los posibles resultados y, por tanto, pueden representar preferencias completas y transitivas: resultado $X$ es preferible a $Y$ si y sólo si la función de utilidad asigna $X$ mayor utilidad. La utilidad esperada extiende la teoría clásica de la utilidad a los resultados estocásticos definiendo la utilidad global $U$ de un resultado estocástico $X$ como la expectativa de una función de utilidad bernoulli $u$ cuya curvatura $-\frac{u''}{u'}$ formaliza una noción de aversión al riesgo .

$$ U(X) = \mathbb{E}[u(X)]$$

(Pequeña nota: la curvatura de $u$ aquí es muy importante, ya que representa la aversión al riesgo, mientras que la curvatura de $U$ es irrelevante: cualquier transformación monótona y creciente de una función de utilidad global $U$ representa las mismas preferencias).

Una bonita función de utilidad Bernoulli $u$ a utilizar es servicio de energía . En un caso especial se trata simplemente de la utilidad del registro: $u(x) = \log(x)$ .

Dejemos que $w$ sea un escalar que represente su riqueza. Sea $Z$ es el resultado de la tirada de dados (es decir, 1 dólar si el dado sale 1, etc.). $c$ sea el equivalente de certeza de la apuesta. El equivalente de certeza le da la misma utilidad esperada que su apuesta, por lo tanto $c$ resuelve la ecuación: $$u(w + c) = \mathrm{E}[ u(w + Z) ] $$

Con utilidad de registro:

$$ \log(w + c) = \frac{1}{6}\sum_{i=1}^6 \log(w + i) $$

Si tenemos una utilidad logarítmica y una riqueza de un millón de dólares ( $w = 1,000,000$ ), entonces calculo el equivalente de certeza de la apuesta como $c = 3.49999854$ . Así que no son 3,5 dólares, pero en realidad, es básicamente lo mismo a menos que aumente su aversión al riesgo o aumente la escala de la apuesta. (Y esa riqueza es probablemente demasiado baja si se tiene en cuenta el valor actual de todos los salarios futuros).

Este análisis, por supuesto, no tiene en cuenta el valor del tiempo perdido hablando de esta apuesta. Una apuesta de pocos dólares es, casi con toda seguridad, demasiado pequeña para que merezca la pena un análisis significativo.

Answer 2

Se refería a que estás asumiendo un riesgo, por lo que sólo podrías pagar menos de 3,5 por él. Por ejemplo, suponiendo que todo tu patrimonio es de 35.000 dólares y que el juego se juega en unidades de 10.000 dólares. ¿Pagarías 35.000 por el juego si sólo pudieras recuperar 10.000? Eso aplastaría su riqueza total.