Prueba de la homogeneidad de las elasticidades

Question

En toda la literatura microeconómica veo la siguiente restricción sobre la naturaleza de las elasticidades en la estimación del sistema de demanda.

Siendo esto por algún bien arbritario $x$ requerimos que las elasticidades precio y renta sean:

$$\varepsilon(x,p_x)+\varepsilon(x,p_y)+\varepsilon(x,I)=0$$

¿Cuál es la prueba de esto? (Parece que no la encuentro).

Answer 1

Obsérvese que la función de demanda marshalliana $x^*(p_x,p_y,I)$ es homogénea de grado cero en $(p_x,p_y,I)$ (ver aquí para una prueba). Según el teorema de Euler para la función homogénea, se deduce que \begin{equation} \frac{\partial x^*}{\partial p_x}p_x+\frac{\partial x^*}{\partial p_y}p_y+\frac{\partial x^*}{\partial I}I=0\cdot x(p_x,p_y,I)=0 \end{equation} Dividiendo ambos lados por $x^*$ , usted tiene \begin{align} \frac{\partial x^*}{\partial p_x}\frac{p_x}{x^*}+\frac{\partial x^*}{\partial p_y}\frac{p_y}{x^*}+\frac{\partial x^*}{\partial I}\frac{I}{x^*}&=0\\ \epsilon_{xx}+\epsilon_{xy}+\epsilon_{xI}&=0 \end{align}