¿Por qué es EV<CV si el bien es inferior?

Question

A través de la ecuación de Slutsky sé que si el bien es inferior la función de demanda marshalliana es más pronunciada que la demanda hicksiana pero no puedo entender por qué la variación compensatoria es mayor que la variación equivalente. ¿Será porque el aumento de la utilidad desplaza la hicksiana hacia la izquierda en lugar de desplazarla hacia la derecha (en un gráfico con los precios como y y la demanda como x)?

Answer 1

Creo que las exigencias marshallianas son menos pronunciadas que las hicksianas porque invertimos los ejes y y x en economía. Así, una derivada mayor de x con respecto a p será menos empinada, ya que p está en la vertical y x en la horizontal.

(imagen de aquí )

Answer 2

La respuesta viene de observar la demanda compensada hicksiana:

Dado que, WLOG, EV para un solo cambio de precio del bien puede escribirse como $$EV(p_1,p_0,u) = \int_{p_1}^{p_0} h(p,u_1)dp_1$$ y CV como $$CV(p_1,p_0,u) = \int_{p_1}^{p_0} h(p,u_0)dp_1,$$ y sabemos que $\frac{\partial h}{\partial u} \leq 0$ cuando el bien es inferior (utilizando el hecho de que $\frac{\partial x}{\partial w}=\frac{\partial h}{\partial u}\frac{\partial v}{\partial w} \leq 0$ y $\frac{\partial v}{\partial w}\geq0$ que proviene de la identidad $x(p,w)=h(p,v(p,w))$ ), podemos utilizar la monotonicidad de la integral para establecer que $$EV(p_1,p_0,u) = \int_{p_1}^{p_0} h(p,u_1)dp \leq \int_{p_1}^{p_0} h(p,u_0)dp = CV(p_1,p_0,u)$$ cuando $p_1<p_0$ .

Para el caso de que $p_1 > p_0$ Sólo hay que ver que $u_1 \leq u_0$ , donde $u_i = v(p_i,w)$ , $\implies$ $h(p,u_1) \geq h(p,u_1)$ para que $$-EV(p_1,p_0,u) = \int_{p_0}^{p_1} h(p,u_1) dp \geq \int_{p_0}^{p_1} h(p,u_0) dp = - CV(p_1,p_0,u).$$

$\square$