¿Por qué la volatilidad de un proceso Ito no es root cuadrada de su varianza?

Question

La volatilidad $\sigma$ de un proceso Ito $dS_t = r S_t dt + \sigma S_t dW_t$ no es root cuadrada de su variación.

Pero a menudo se escucha que "volatilidad = desviación estándar".

¿Qué está pasando aquí?

Answer 1

$S_t$ es logarítmica normal, por lo que su varianza será diferente.

$\sigma ^2$ es, sin embargo, la varianza de los rendimientos $\log S_t$ por unidad de tiempo desde

$$\log S_t \sim N\left(\log S_0 + \left(r-\frac 12 \sigma ^ 2\right) t, \sigma ^2 t\right)$$