¿Cómo se calcula la covarianza entre dos integrales estocásticas?

Question

Cómo calcular la covarianza entre la integral de un movimiento Browniano en diferentes momentos: $$ \text {Cov} \left ( \int ^{t_1}_0 \sigma (t)dW_t, \int ^{t_2}_0 \sigma (t)dW_t \right )\ ?$$ Sé que la respuesta es: $$ \int ^{t_1 \wedge t_2}_0 \sigma ^2(t)dt.$$

Si $ \int ^{s}_0 \sigma (t)dW_t$ era un movimiento Browniano, entonces la respuesta anterior sería obvia, pero desafortunadamente no lo es. Entonces, ¿cómo calcular tal covarianza?

Answer 1

Por:

1. bilinealidad de la covarianza,
2. la independencia de los incrementos brownianos, y
3. La isometría de Itô ,

obtenemos: $$\begin{align} & \text{Cov}\left(\int^{t_1}_0\sigma(t)dW_t,\int^{t_2}_0\sigma(t)dW_t\right) \\[6pt] & \qquad = \text{Cov}\left(\int^{t_1\wedge t_2}_0\sigma(t)dW_t,\int^{t_1\wedge t_2}_0\sigma(t)dW_t +\int^{t_1\vee t_2}_{t_1\wedge t_2}\sigma(t)dW_t\right) \\[6pt] & \qquad \overset{1}{=} V\left(\int^{t_1\wedge t_2}_0\sigma(t)dW_t\right)+\text{Cov}\left(\int^{t_1\wedge t_2}_0\sigma(t)dW_t,\int^{t_1\vee t_2}_{t_1\wedge t_2}\sigma(t)dW_t\right) \\[6pt] & \qquad \overset{2}{=} E\left(\left(\int^{t_1\wedge t_2}_0\sigma(t)dW_t\right)^2\right) \\[6pt] & \qquad \overset{3}{=} \int^{t_1\wedge t_2}_0\sigma^2(t)dt \end{align}$$