Expectativa condicional de un movimiento browniano geométrico.

Question

Estoy revisando cosas del pasado y de repente estoy muy confundido. Algunas verificaciones ayudarían con lo siguiente.

$$ \ mathbb {E} [e ^ {\ sigma W (t)} | {\ cal F} _s] = \ mathbb {E} [e ^ {\ sigma (W (t) - W (s) + W (s))} | {\ cal F} _s] = \ mathbb {E} [e ^ {\ sigma (W (t) - W (s))} | {\ cal F} _s] e ^ {W ( s)} $$ $$ = \ mathbb {E} [e ^ {\ sigma (W (t) - W (s))}] e ^ {W (s)} = \ frac {1} {2} \ sigma ^ 2 (ts) e ^ {W (s)} $$

¿Es esto cierto?

Answer 1

Tenemos

\begin{equation} \sigma \left( W_t - W_s \right) \sim \mathcal{N} \left( 0, \sigma^2 (t - s) \right). \end{equation}

Deje$X \sim \mathcal{N} \left( 0, \xi^2 \right)$, luego

\begin{eqnarray} \mathbb{E} \left[ e^{X} \right] & = & \frac{1}{\sqrt{2 \pi} \xi} \int_\mathbb{R} \exp \left\{ x -\frac{x^2}{2 \xi^2} \right\} \mathrm{d}x\\ & = & \frac{1}{\sqrt{2 \pi} \xi} \int_\mathbb{R} \exp \left\{ -\frac{x^2 - 2 x \xi^2 \pm \xi^4}{2 \xi^2} \right\} \mathrm{d}x\\ & = & \frac{1}{\sqrt{2 \pi} \xi} e^{\xi^2 / 2} \int_\mathbb{R} \exp \left\{ -\frac{\left( x - \xi^2 \right)^2}{2 \xi^2} \right\} \mathrm{d}x\\ & = & e^{\xi^2 / 2}, \end {eqnarray}

donde reconocemos el integrando en la segunda última línea como la densidad de una variable aleatoria normal$\mathcal{N} \left( \xi^2, \xi^2 \right)$ que se integra en una. Así

\begin{equation} \mathbb{E} \left[ e^{\sigma \left( W_t - W_s \right)} \right] = \exp \left\{ \frac{1}{2} \sigma^2 (t - s) \right\}. \end{equation}

Sus otros pasos son correctos, es decir

\begin{equation} \mathbb{E} \left[ \left. e^{W_t} \right| \mathcal{F}_s \right] = \exp \left\{ W_s + \frac{1}{2} \sigma^2 (t - s) \right\} \end{equation}