Barrera digital opciones y precios

Question

¿Qué opciones de llamada que se comportan como las opciones de la barrera, pero para una opción digital?

Es decir, dada $0 < t < T$, entonces si $S_t > K_t$, la opción binaria $B(K_T,T)$ entra en juego, es decir, que paga 1 unidad si $S_T > K_T$. Sin embargo, si $S_t < K_t$, entonces tenemos nada ,y de coruse si $S_t > K_t$pero $S_T < K_T$, entonces tenemos nada así.

¿Cuáles son estas opciones, y donde puedo encontrar sus precios? Por ejemplo, en un Black Scholes configuración?

Answer 1

Descargo de responsabilidad: Esta respuesta se deriva de los precios de los dos binarios diferentes opciones dentro de la Black/Scholes marco. Tenga en cuenta que este no es un caso modelo de valoración a utilizar para los no-Europeo de los contratos en la mayoría de los del mundo real de los mercados.

Y En Call Binaria

Después de leer tu pregunta por segunda vez, estoy de acuerdo con Quantuple comentario de que te parecen estar buscando la solución para arriba-y-en opción binaria call.

Formalmente, vamos

\begin{equation} \nu = \inf \left\{ t \in \mathbb{R}_+ : S_t \geq K \right\} \end{equation}

ser el primero golpeando el tiempo de $S$ a la huelga de $K$. La opción tiene una unidad de pago condicional en $\nu \leq T$ e $S_T \geq K$, es decir,

\begin{equation} V_T = \mathrm{1} \left\{ S_T \geq K \right\} \mathrm{1} \left\{ \nu \leq T \right\}. \end{equation}

Nota sin embargo que $S_T \geq K \; \Rightarrow \; \nu \leq T$ e lo $\left\{ S_T \geq K \right\} \subseteq \left\{ \nu \leq T \right\}$. En consecuencia, podemos omitir el segundo indicador y su rentabilidad es sólo

\begin{equation} V_T = \mathrm{1} \left\{ S_T > K \right\}. \end{equation}

I. e. el precio de una-y-en opción binaria call es el mismo de la normal de una opción binaria call. Por lo tanto tiene el resultado estándar que

\begin{equation} V_0 = e^{-r T} \mathcal{N} \left( d_- \right), \end{equation}

donde

\begin{equation} d_- = \frac{1}{\sigma \sqrt{T}} \left( \ln \left( \frac{S_0}{K} \right) + \left( r - \frac{1}{2} \sigma^2 \right) T \right). \end{equation}

Abajo y hacia Fuera Binaria Call

Un caso más interesante es el down-and-out call binaria. Esta es la forma en que inicialmente se entiende tu pregunta. Ahora vamos a

\begin{equation} \nu = \inf \left\{ t \in \mathbb{R}_+ : S_t \leq K \right\} \end{equation}

y

\begin{equation} V_T = \mathrm{1} \left\{ S_T \geq K \right\} \mathrm{1} \left\{ \nu > T \right\}. \end{equation}

Esta opción elimina, si el precio spot incumplimiento de la barrera antes de la madurez. De lo contrario, se tiene una digital de la rentabilidad de uno.

Deje $\tau = T - t$ el tiempo a vencimiento. La valoración de la función $\tilde{V}(S, \tau)$ de esta opción satisface la inicial del problema de valor de frontera

\begin{eqnarray} \mathcal{L} \left\{ \tilde{V} \right\} (S, \tau) & = & 0 \qquad (S, \tau) \in \mathcal{D},\\ \tilde{V}(K, \tau) & = & 0, \qquad \forall \tau \in \mathbb{R}_+\\ \tilde{V}(S, 0) & = & \mathrm{1} \{ S \geq K \}, \end{eqnarray}

donde $\mathcal{L}$ es el Black/Scholes adelante operador y $\mathcal{D} = \left\{ (S, \tau): S > K, \tau \in \mathbb{R}_+ \right\}$. Utilizando el método de las imágenes, ver, por ejemplo, Buchen (2001), la solución puede ser demostrado ser

\begin{equation} \tilde{V}(S, \tau) = \mathcal{B}_K^+(S, \tau) - \stackrel{K}{\mathcal{I}} \left\{ \mathcal{B}_K^+(S, \tau) \right\}, \end{equation}

donde

\begin{eqnarray} \mathcal{B}_K^+ (S, \tau) & = & e^{-r \tau} \mathcal{N} \left( d_- \right),\\ d_- & = & \frac{1}{\sigma \sqrt{\tau}} \left( \ln \left( \frac{S}{K} \right) + \left( r - \frac{1}{2} \sigma^2 \right) \tau \right),\\ \stackrel{K}{\mathcal{I}} \left\{ \mathcal{B}_K^+ (S, \tau) \right\} & = & \left( \frac{S}{K} \right)^{2 \alpha} \mathcal{B}_K^+ \left( \frac{K^2}{S}, \tau \right),\\ \alpha & = & \frac{1}{2} - \frac{r}{\sigma^2}. \end{eqnarray}

Referencias

Buchen, Peter W. (2001) "las Opciones de Imagen y el Camino a las Barreras," el Riesgo de la Revista, Vol. 14, Nº 9, pp 127-130