La ecuación de Bellman:
$V(x) = max \{F(x,y)+ \beta V(y)\}$
$V(x) = max \{F(x,y), \beta V(y)\}$
Cuando uso el plus y cuando el uso de la coma?
¿Te importaría darme un ejemplo para explicar tal diferencia?
Muchas gracias !
Respuesta
¿Demasiados anuncios?
Usted debe tener cuidado acerca de la forma en la que escribió su dos ecuaciones debido a que el $\max$ operadores son diferentes. En la primera ecuación, se maximiza la función objetivo en un conjunto, es decir, buscar el mejor valor de $y$ dado que el $y$ pertenece a un conocido conjunto. No se han definido este conjunto. En el segundo caso, se elige el máximo entre dos valores. Contrario a la primera ecuación, $y$ está predefinido y no es un parámetro para encontrar dada su notaciones.
Si I resumen de la notación de los errores, creo que quiere un ejemplo para entender la diferencia entre una clásica torta problema con la comida (su primera ecuación) y una parada de la regla de problema (probablemente su segunda ecuación).
Considere el siguiente marco. El tiempo es discreto. Hay una buena en la economía. Estamos interesados en el problema de un consumidor. En cada período de $t$, el consumidor tiene acceso a un stock de buen $x_t$. Ella se enfrenta a un estándar inter-temporal de ahorro de problema; ella tiene que decidir cuánto consumir, $c_t$, y cuánto ahorrar para el próximo periodo, $x_{t+1}$. El consumidor goza de un flujo de utilidad $u(c_t)$ y descuentos consumo futuro, con un factor de $\beta$. Para cerrar el modelo, una tecnología de ahorro debe ser definido. Podemos considerar dos casos diferentes:
(i) No es una tasa de interés $r$. El consumidor puede retirarse libremente de cualquier importe de la cuenta de ahorro. (ii) Existe una tasa de interés $r$. El consumidor, sin embargo, no puede retirar una cantidad de bien sin el cierre de la cuenta de ahorro.
Vamos a escribir el problema de optimización en los dos casos:
(i) $$V(x_t)=\underset{0\leq x_{t+1}\leq (1+r)x_t}{\max} \{u((1+r)x_t-x_{t+1})+\beta V(x_{t+1})\}$$
(ii) $$V(x_t)=\underset{x_{t+1}= (1+r)x_t \text{ or } 0}{\max} \{u((1+r)x_t-x_{t+1})+\beta V(x_{t+1})\}$$ El consumo de $c_t$ es igual a $(1+r)x_t-x_{t+1}$. Podemos hacer una analogía con lo que usted escribió. Mi $x_t$ e $x_{t+1}$ se su $x$ e $y$, e $F(x,y)=u((1+r)x-y)$. En el primer caso, el consumidor tiene que elegir la cantidad a ahorrar $x_{t+1}$ en el intervalo de $(0,(1+r)x_t)$. En el segundo caso, ella sólo puede elegir si desea mantener en el ahorro, $x_{t+1}=(1+r)x_t$, para cerrar la cuenta, $x_{t+1}=0$. Por la normalización de $u(0)=0$, el segundo caso se puede escribir:
(ii) $$V(x_t)=\max \{u((1+r)x_t),\beta V((1+r)x_t)\}$$
En el primer problema, el consumidor come una parte de la tarta (que se está expandiendo a una tasa de $r$) y guarda el resto para el próximo periodo de maximizar su intertemporal de la utilidad. En el segundo problema, el consumidor tiene que decidir cuándo comer completamente la (creciente) de la torta, que define la detención de la regla.
