Expectativa y varianza de $\int_0^t (W_s)^n ds$ para cualquier número entero positivo $n$ ?

Question

Es bien sabido que la integral $$\int_0^t W_s ds,$$ donde $(W_s)_s$ es un movimiento browniano, puede derivarse utilizando el lema de Ito. Más precisamente, el lema de Ito sobre $d(tW_t)$ implica que $$d(tW_t) = tdW_t + W_t dt.$$ Por lo tanto, $$\int_0^t W_s ds = tW_t - \int_0^t sdW_s.$$ Su media y varianza se pueden obtener a partir de esta expresión. Esto me lleva a la siguiente pregunta.

Pregunta: Dado un número entero positivo $n,$ cuál es la media y la varianza $$\int_0^t (W_s)^n ds?$$

El cálculo anterior es para $n=1.$

Answer 1

Para la media se puede utilizar el Teorema de Fubini para cambiar el orden de integración $$ E\int_0^t (W_s)^n ds = \int_0^t E(W_s)^n ds$$ Entonces podemos utilizar el hecho de que $W_s \sim N(0,\sqrt{s})$ para obtener \begin{align*} E (W_s)^{2k+1} &= 0, k=0,1,2,... \tag*{(odd n)} \\ E (W_s)^{2k} &= (2k-1)!!s^k, k=1,2,... \tag*{(even n)} \end{align*} Por lo tanto, \begin{align*} E\int_0^t (W_s)^{2k+1} ds &= 0, k=0,1,2,... \tag*{(odd n)} \\ E\int_0^t (W_s)^{2k}ds &= (2k-1)!! \int_0^t s^k ds = (2k-1)!! \frac{t^{k+1}}{k+1}, k=1,2,... \tag*{(even n)} \end{align*}