Salarios en el modelo de crecimiento de Solow con ahorro = 0

Question

Estoy tratando de entender el cambio de la tasa salarial y la tasa de alquiler en el modelo de crecimiento de Solow con s = 0. Está claro que el capital per cápita se acercará a 0 (debido a la depreciación del capital). También me queda claro el hecho de que la tasa de alquiler aumentará debido a los rendimientos marginales decrecientes supuestos en la función de producción. Dado que en el caso de rendimientos constantes a escala se paga a los factores su producto marginal, la tasa de alquiler aumenta. Estoy confundido sobre el producto marginal del trabajo en horas extras en un entorno general. Por ejemplo, si tomo $F(K,L)=K^aL^{1a} ,0<a<1$ entonces puedo ver que el producto marginal del trabajo caerá si asumimos una fuerza laboral constante o creciente. Pero no soy capaz de demostrarlo para un caso general. $F$ con CRS.

Answer 1

Sea $$Q = F(K,L)$$ Supongamos que
a) $F(K,L)$ presenta rendimientos a escala consonantes.

Lo necesitamos para agregar las empresas individuales al total.

b) Comportamiento de toma de precios y

c) Comportamiento de maximización de beneficios

por parte de las empresas.

Luego, a lo largo del proceso dinámico, $$w = \frac {\partial F(K,L)}{\partial L} \equiv F_L$$

es decir, el salario es igual al producto marginal del trabajo. Para mayor claridad, escribamos

$$\frac {\partial F(K,L)}{\partial L} \equiv h(K,L)$$

$$\dot w = \frac {d}{dt}\frac {\partial F(K,L)}{\partial L} = \frac {d}{dt}h(K,L)= \frac {\partial h(K,L)}{\partial K}\dot K + \frac {\partial h(K,L)}{\partial L}\dot L$$

$$\implies \dot w = F_{KL}\dot K + F_{LL}\dot L$$

Supongamos además

d) complementariedad de los insumos, $F_{KL}>0$ y

e) productos marginales decrecientes (no en la dimensión temporal, sino en la estática, debido a la disminución de la tasa de rendimiento), $F_{LL}<0, F_{KK}<0$ .

Entonces, si

$$\dot K <0, \dot L\geq 0 \implies \dot w <0$$

El mismo tratamiento nos dará

$$\dot r = F_{KK}\dot K + F_{KL}\dot L >0$$