Derivación del conjunto de la frontera eficiente (problema de Markowitz)

Question

Me gustaría encontrar una Derivación del conjunto de la frontera eficiente para el problema de Markowitz:

Answer 1

Para resolver este problema de minimización de restricciones, primero hay que formar la función lagrangiana \begin {align} L(w, \lambda_1 , \lambda_2 )=w' \Sigma w + \lambda_1 (w' \boldsymbol { \mu }-m) + \lambda_2 (w' \boldsymbol {1}-1). \end {align}

Las condiciones de primer orden para un mínimo vienen dadas entonces por \begin {align} \frac { \delta L(w, \lambda_1 , \lambda_2 )}{ \delta w}&=2 \Sigma w + \lambda_1 \boldsymbol { \mu } + \lambda_2 \boldsymbol {1}= \boldsymbol {0} \\ \frac { \delta L(w, \lambda_1 , \lambda_2 )}{ \lambda_1 }&=w' \boldsymbol { \mu }-m=0 \\ \frac { \delta L(w, \lambda_1 , \lambda_2 )}{ \lambda_2 }&=w' \boldsymbol {1}-1=0. \end {align}

Este sistema de ecuaciones lineales utilizando el álgebra matricial puede representarse como \begin {align} \begin {bmatrix} 2 \Sigma & \boldsymbol { \mu } & \boldsymbol {1} \\ \boldsymbol { \mu }' & 0 & 0 \\ \boldsymbol {1}' & 0 & 0 \end {bmatrix} \begin {bmatrix} w \\ \lambda_1 \\ \lambda_2 \end {bmatrix}= \begin {bmatrix} \boldsymbol {0} \\ m \\ 1 \end {bmatrix}, \end {align} o \begin {align} \boldsymbol {A} \boldsymbol {z}= \boldsymbol {b}, \end {align} donde

\begin {align} \boldsymbol {A}:= \begin {bmatrix} 2 \Sigma & \boldsymbol { \mu } & \boldsymbol {1} \\ \boldsymbol { \mu }' & 0 & 0 \\ \boldsymbol {1}' & 0 & 0 \end {bmatrix}, \boldsymbol {z}:= \begin {bmatrix} w \\ \lambda_1 \\ \lambda_2 \end {bmatrix} \boldsymbol {b}:= \begin {bmatrix} \boldsymbol {0} \\ m \\ 1 \end {bmatrix}. \end {align} La solución para $\boldsymbol{z}$ viene dada por (A tiene rango completo y por tanto es invertible)

\begin {align} \boldsymbol {z}= \boldsymbol {A}^{-1} \boldsymbol {b} \end {align}

El primer elemento de $\boldsymbol{z}$ te da el conjunto de carteras eficientes variando m.