Relación entre la función de utilidad lineal y U=max{x,y}

Question

Estoy estudiando la teoría del equilibrio general, y en la guía de estudio me encontré con una función de utilidad del tipo $U=\max\{x,y\}$ que no estoy muy familiarizado. Estudio principalmente de dos libros: Intermediate microeconomics de Varian y Nicholson's Microeconomic Theory y no pude encontrar ningún detalle sobre la naturaleza de este tipo de función de utilidad en ninguno de ellos.

Mis profesores a lo largo de los semestres han mencionado algunos detalles al respecto como dato curioso, por lo que sé que la elección del consumidor se rige por el precio relativo de los bienes, en este caso x e y, por lo que elegirá consumir el bien más barato, y si los precios relativos son iguales será indiferente hacia ambos. También sé que las curvas de indiferencia tienen la forma de una L invertida.

Lo que no me queda claro es qué relación tiene con la función de utilidad de los sustitutos perfectos, ya que ambas me parecen extremadamente similares, pero las curvas de indiferencia son muy diferentes.

• ¿Es la función de utilidad $U=\max\{x,y\}$ ¿un caso más general?

• Más importante aún, cuando los precios relativos son los mismos, ¿cómo podemos ilustrar la elección del consumidor en esa curva de indiferencia L invertida, no se vuelve lineal?

Answer 1

El conjunto de elección óptima para una función máxima y una función de sustitutos perfectos con precios relativos iguales comparten algunas soluciones [es decir, soluciones límite], pero en general, las curvas de indiferencia, y por tanto las soluciones no límite, son diferentes.

Idea principal

Tanto para una función de utilidad max(x1 x2) como perfect_sub(x1 x2), el punto, digamos, m/p1 (o m/p2 ) maximizaría la utilidad. Así que ambas funciones de utilidad comparten soluciones límite. Pero pensemos en el CI de m/p1 para un consumidor de perf_subs y pensar en el CI de m/p1 para un consumidor máximo. Se ven los puntos que los dos consumidores piensan que son "tan buenos" como ese m/p1 punto son muy diferentes.

Es decir, el mismo paquete de límites puede ser una solución para ambas funciones de utilidad, pero las otras soluciones serán diferentes.

Lógica

La razón es que U = perfect_subs es una función de utilidad (no estrictamente) convexa, mientras que U = max no lo es. Es decir, el consumidor es indiferente o prefiere las combinaciones menos extremas a las más extremas para la primera. ¿Y para los segundos? Bueno, sólo les importa el máximo; les gustan las combinaciones extremas (por ejemplo, [C = ( m/p1, 0 )])

Por eso, para U = perfect_subs con precios relativos iguales, tanto A = (100,0) y B = (ß(x1), (1-ß)x2) tienen la misma utilidad. Es decir, B se encuentra en una línea recta IC que conecta (100, 0) con (0, 100). Mientras que para U = max(x1 x2), B no estaría en la misma IC que A (a menos que ß sea 0 o 1, en cuyo caso, ¡volvemos a hablar de soluciones de frontera!)

La palabra, max es confuso aquí. Esencialmente, el consumidor perfect_subs (x1 x2) quiere maximizar los bienes totales. El consumidor max(x1 x2) sólo se preocupa por maximizar la mayor cantidad de su paquete {x1, x2}.

Nota: El texto en español es el mismo que en inglés.

Para ser más concretos: Si A = (100,0) y B = (75, 25) un consumidor perf_subs es indiferente entre A y B; un consumidor max no lo es.

Answer 2

HerrK. tenía razón en los comentarios. Perdón por el lapsus.

Lo que ocurre es que $U(x,y)=$ max{ $x,y$ } con $P_x=P_y=P$ hace que un consumidor sea indiferente entre los paquetes de consumo: $(\frac{w}{P},0) \equiv(0,\frac{w}{p})$

Siempre que haya precios desiguales, digamos $P_x<P_y$ entonces el consumidor preferirá estrictamente el bien más barato. Esto significa que el consumidor prefiere el paquete de consumo $(x,y) \equiv (\frac{w}{P},0)$

Las funciones de sustitución perfecta son de la forma $U(x,y)=aX+bY$ , $x,y \in \mathbb{R^2_+}$ . Supongamos que $P_x=P_y=P$ entonces el consumidor es indiferente entre cualquier mezcla de los bienes $x,y$ que agota su riqueza $w$ (suponiendo la divisibilidad de los bienes, etc.). Si en cambio los precios son desiguales, el consumidor equiparará $MRS = \frac{MU_x}{MU_y}$ .

Esto puede dar lugar a soluciones de esquina que son similares a los paquetes óptimos elegidos por el agente que se enfrenta a $U(x,y)=$ max{ $x,y$ }. En concreto, siempre que la línea presupuestaria y las curvas de indiferencia tengan pendientes diferentes. Por ejemplo: