adelante opción, cálculo estocástico

Question

Me encuentro con un problema para entender esto:

El precio de una opción directa es : $C(K,t,T)=\mathbb{E}[((S_{T}/S_{t})-K)+]$ OK

La opción sólo debe depender de $T-t$ debido a que el rendimiento de la aleatoriedad (por una semana) en los 2 años debe ser el mismo que el rendimiento de la aleatoriedad (por una semana) en 3 años y que será el mismo que el rendimiento de la aleatoriedad (por una semana) si a día de hoy no se conocen los eventos que se espera ¿por QUÉ ?

Luego de tomar $X_{t}=ln(S_{t}/S_{0})$ debemos tener: para todos los $u$ y para todos $a$, $X_{u+a}-X_{u}=X_{a}$ (la igualdad en la distribución) ¿por QUÉ ?

Gracias

Answer 1

Para la última pregunta. Suponemos que $$\begin{align*} S_t = S_0 e^{(r-q-\frac{1}{2}\sigma^2)t + \sigma W_t}, \end{align*}$$ donde $W$ es un estándar de movimiento Browniano, $r$ es la tasa de interés, $q$ es la rentabilidad por dividendo, y $\sigma$ es la volatilidad. A continuación, $$\begin{align*} X_{u+a}-X_a &= (r-q-\frac{1}{2}\sigma^2)a + \sigma(W_{u+a}-W_u)\\ &\sim (r-q-\frac{1}{2}\sigma^2)a + \sigma W_a\\ &= X_a. \end{align*}$$

Para la opción de inicio, tenga en cuenta que $$\begin{align*} S_T/S_t &= e^{(r-q-\frac{1}{2}\sigma^2)(T-t) + \sigma (W_T- W_t)}\\ &= e^{(r-q-\frac{1}{2}\sigma^2)(T-t) + \sigma \sqrt{T-t}\xi}, \end{align*}$$ donde $\xi$ es una variable aleatoria normal estándar. Entonces $$\begin{align*} C(K, t, T) &= e^{-rT} \mathbb{E}\big(S_T/S_t -K)^+ \big)\\ &= e^{-rT}\big[N(d_1) - KN(d_2) \big], \end{align*}$$ donde $N$ es la función de distribución acumulativa de una variable aleatoria normal estándar, $$\begin{align*} d_{1} = \frac{\ln (1/K) + (r-q+ \frac{1}{2}\sigma^2 )(T-t)}{\sigma \sqrt{T-t}}, \end{align*}$$ y $$\begin{align*} d_{2} = \frac{\ln (1/K) + (r-q- \frac{1}{2}\sigma^2 )(T-t)}{\sigma \sqrt{T-t}}. \end{align*}$$