Deje $X$ ser una variable aleatoria en un espacio de probabilidad $(\Omega, \mathcal{F}, P)$ y deje $g$ ser un Borel medible de la función en $\mathbb{R}$. En Shreve II (p 28) demuestra, usando el estándar de la máquina, que $$ \mathbb{E}(g(X)) = \int_{\mathbb{R}} g(x)\, d(P \circ X^{-1})(x), $$ donde $P \circ X^{-1}$ es el pushforward medida en $\mathbb{R}$. Entonces de nuevo se utiliza el estándar de la máquina para demostrar que, para una variable aleatoria continua $X$, que $$ \mathbb{E}(g(X)) = \int_{\mathbb{R}} g(x) f(x) d\lambda(x), $$ donde $f$ es la función de densidad de probabilidad de $X$ e $\lambda$ es la medida de Lebesgue en $\mathbb{R}$.
Mi pregunta es, es el estándar de la máquina realmente necesario para esta segunda parte? Por definición de una variable aleatoria continua, $f = \frac{d(P \circ X^{-1})}{d \lambda}$, y así $$ \int_{\mathbb{R}} g(x)\, d(P \circ X^{-1})(x) = \int_{\mathbb{R}} g(x)f(x) d\lambda(x) $$ desde $f$ es el Radon-Nikodym derivado de la $P \circ X^{-1}$ w.r.t. $\lambda$.
Tal vez estoy con vistas a algunos integrabilidad condiciones?