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Demostrando $\mathbb{E}(g(X)) = \int_{\mathbb{R}} g(x) f(x) dx$

Deje $X$ ser una variable aleatoria en un espacio de probabilidad $(\Omega, \mathcal{F}, P)$ y deje $g$ ser un Borel medible de la función en $\mathbb{R}$. En Shreve II (p 28) demuestra, usando el estándar de la máquina, que $$ \mathbb{E}(g(X)) = \int_{\mathbb{R}} g(x)\, d(P \circ X^{-1})(x), $$ donde $P \circ X^{-1}$ es el pushforward medida en $\mathbb{R}$. Entonces de nuevo se utiliza el estándar de la máquina para demostrar que, para una variable aleatoria continua $X$, que $$ \mathbb{E}(g(X)) = \int_{\mathbb{R}} g(x) f(x) d\lambda(x), $$ donde $f$ es la función de densidad de probabilidad de $X$ e $\lambda$ es la medida de Lebesgue en $\mathbb{R}$.

Mi pregunta es, es el estándar de la máquina realmente necesario para esta segunda parte? Por definición de una variable aleatoria continua, $f = \frac{d(P \circ X^{-1})}{d \lambda}$, y así $$ \int_{\mathbb{R}} g(x)\, d(P \circ X^{-1})(x) = \int_{\mathbb{R}} g(x)f(x) d\lambda(x) $$ desde $f$ es el Radon-Nikodym derivado de la $P \circ X^{-1}$ w.r.t. $\lambda$.

Tal vez estoy con vistas a algunos integrabilidad condiciones?

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otto.poellath Puntos 1594

Como el Radón-Nykodim derivada está definida para las medidas en el mismo espacio medible, y mientras que la probabilidad de $P$ está definido en el espacio de probabilidad $\Omega$, el estándar de la máquina es necesario tener las dos medidas de $\lambda$ e $P \circ X^{-1}$ ambos definidos en $\mathbb{R}$. Es decir, \begin{align*} \mathbb E(g(X)) &=\lim_{n\rightarrow \infty}\sum_{m=-\infty}^{\infty}\sum_{i=1}^{2^n}\Big(\frac{i-1}{2^n}+m\Big)P\Big(\frac{i-1}{2^n}+m \leq g(X) < \frac{i}{2^n}+m\Big)\\ &=\lim_{n\rightarrow \infty}\sum_{m=-\infty}^{\infty}\sum_{i=1}^{2^n}\Big(\frac{i-1}{2^n}+m\Big)P \circ X^{-1}\bigg(g^{-1}\Big[\frac{i-1}{2^n}+m, \ \frac{i}{2^n}+m\Big)\bigg)\\ &=\int_{\mathbb{R}} g(x)\, d(P \circ X^{-1})(x)\\ &= \int_{\mathbb{R}} g(x) f(x) d\lambda(x), \end{align*} donde $f = \frac{d(P \circ X^{-1})}{d \lambda}$ es el Radón Nykodim derivados.

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