Pregunta sobre la teoría de la decisión: Existencia y unicidad del equivalente de certeza de p

Question

Dejemos que $X = (x_*,x^*)$ sea un intervalo en la recta real y denote por $\Delta(X)$ el conjunto de distribuciones de probabilidad simples en $X$ . Consideremos una relación de preferencia $\succcurlyeq$ en $\Delta(X)$ que satisface los axiomas de la teoría de la utilidad esperada. Si $\succcurlyeq$ muestra monotonicidad con respecto a la dominancia estocástica de primer orden y la aversión al riesgo, entonces para todo $p \in \Delta(X)$ el equivalente en certeza de $p$ existe y es único.

Esquema de la prueba:

1) Definimos el equivalente de certeza de la lotería $p$ : $CE_p \sim \int_{X}u(x)p(x)dx$

2) Sabemos que si $p$ FOSD $q$ entonces $p\succcurlyeq q$

3) Por aversión al riesgo: $\int_{X}u(x)p(x)dx \leq u(\int_{X}xp(x)dx) =u(p)$

4) Queremos demostrar que $\exists$ una lotería, llámala $s$ tal que $CE_p \sim s$ a este respecto (a partir del punto 3) sabemos que $p \succcurlyeq s$ ; A continuación, elegimos una lotería en particular $q$ tal que $p \succcurlyeq q$

5) Ya que por la suposición $\succcurlyeq$ en $\Delta(X)$ satisface los axiomas del teorema de la utilidad esperada (en particular la continuidad) existe un único $\alpha$ tal que $\alpha p + (1-\alpha) q \sim s$ ( ver MWG p. 177). Por lo tanto, demostramos que $\exists$ una lotería compuesta $s$ que es el equivalente en certeza de la lotería $p$ .

PREGUNTA: ¿Me falta algún detalle en la prueba?

Answer 1

Su notación es un poco engañosa: sería mejor escribir $\mathbb{E}u(p)$ o $U(p)$ para la utilidad esperada asociada a $p$ en lugar de $u(p)$ y $u(\mathbb{E}p)$ para la utilidad del valor esperado de $p$ . Formalmente $u$ se define en $X$ y no en $\Delta(X)$ .

En cuanto a su prueba, me parece que: $(i)$ no explicas cómo encontrar $s$ ; $(ii)$ no se encuentra un equivalente de certeza, porque $s$ es una lotería. Lo que quieres encontrar es un premio monetario seguro, es decir, un degenerado lotería, que el decisor valora igual que la lotería $p$ .

Por ejemplo, se puede observar que, por la monotonicidad de $u$ , \begin{equation} u(x_{*})\leq \int_{X}{u(x)p(x)dx} \leq u(x^{*}) \end{equation}

Además, la función $u:x \rightarrow u(x)$ es continua. Por tanto, por el teorema del valor intermedio, existe $CE_p \in [x_{*},x^{*}]$ tal que $u(CE_p) = \int_{X}{u(x)p(x)dx}$ .

Para la singularidad, imagine que $CE'_p$ es otro equivalente de certeza de $p$ es decir, que $u(CE'_p)=u(CE_p)$ . Desde $u$ es estrictamente creciente (lo que puede verse como una consecuencia de la monotonicidad con respecto a la dominancia estocástica de primer orden), obtenemos $CE'_p=CE_p$ .

Obsérvese que no se necesita la aversión al riesgo para demostrar el resultado, sino que además implica que $CE_p \leq \mathbb{E}p$ .