Dado racional $\succsim$ sobre un conjunto finito $X$, muestran que no existe $x \in X$ tal que $x \succsim y, \forall y \in X$

Question

He sido capaz de mostrar, de esta manera constructiva, pero me gustaría probar por inducción. Sin embargo, estoy atascado con el paso de inducción:

Considere la posibilidad de $\succsim$ definido a lo largo del $X=\{x_1,...,x_n\}$ e donde, sin pérdida de generalidad $x_1$ es el elemento que $x_1 \succsim x, \forall x \in X$. Ahora, considere la posibilidad de agregar elemento $x_{n+1}$ para el conjunto. Mi razonamiento es que desde $\succsim$ es definida sobre el original $X$, no hay nada que nos dice que $x_{n+1}$ debe estar en completa relación con los elementos en $X$ (es decir, $\succsim$ no está definido a través de una mayor conjunto).

Es este razonamiento correcto? En ese caso, no veo cómo se puede demostrar mediante la inducción.

Answer 1

Usted está casi allí, pero creo que están empezando en el lugar equivocado. Creo que la clave es la siguiente: queremos demostrar que el reclamo por el conjunto de $X=\{x_1,\ldots,x_n\}$.

Empezar con algo de $X'\subseteq{X}$ para que la afirmación es verdadera. Tal $X'$ existe porque la afirmación es verdadera para el conjunto $\{x_1\}$ (por la integridad y la reflexividad).

Si $X'=X$ a continuación, hemos terminado. Si $X'\neq X$ a continuación, se procede con la inducción:

Denotar por $\bar{x}$ una $x\in X'$ tal que $\bar{x}\succsim y, \forall\ y\in X'$.

Ahora, la construcción de un nuevo conjunto $X''=X'\cup\{x_i\}$, donde $x_i\in X\backslash X'$. Debido a $\succsim$ es racional (preferencias son completas) a través de $X$, o tenemos $x_i\succsim \bar{x}$ o $\bar{x}\succsim x_i$ o ambos. Por lo tanto, si la demanda tiene por $X'$ también tiene por $X''$.

Podemos repetir este paso inductivo hasta $X''=X$, lo que debe suceder después de un número finito de iteraciones debido a que $X$ es finito.