¿Cómo demostrar que el PIB crece al mismo ritmo que el consumo en el modelo de equipos de laboratorio?

Question

Estoy estudiando el modelo de equipo de laboratorio (Barro-Sala-i-Martin, capítulo 6). Estoy teniendo problemas al intentar demostrar que todas las variables crecen al mismo ritmo que el consumo.

Pude demostrar que $\dot{C}/C = g_{c}$ que es constante. Además, tengo que

$b \dot{N} = Y - X - C$ donde $b$ es un parámetro,

$Y/N$ es una constante relacionada con el tipo de interés y

$X = a^{2}Y$ , donde $a$ es un parámetro de la función de producción.

De las ecuaciones segunda y tercera anteriores se desprende que $Y,X$ y $N$ crecer al mismo ritmo. Sin embargo, no está claro que esta tasa deba ser $g_{c}$ o incluso constante en absoluto. Estoy tratando de usar la primera ecuación para mostrarlo, pero no pude hacerlo.

El libro renuncia a esta prueba. Dice que es bastante similar al modelo AK ya que no hay dinámica de transición. ¿Hay alguna forma sencilla de demostrar este resultado? Creo que se debería deducir de una simple manipulación de la primera ecuación. ¿Alguna idea? ¡Muchas gracias de antemano!

Answer 1

El lado del hogar de este modelo es bastante estándar. Denota $K(t)$ son los activos del hogar en el momento $t$ . Entonces la condición de transversalidad (que es una condición de optimización, no una restricción), es

$$\lim_{t \to \infty} [e^{-\rho t}\lambda(t) K(t)] = 0$$

donde $\lambda(t)$ es el multiplicador del valor actual de los activos en el Hamiltoniano. Dada la forma asumida de la función de utilidad tenemos la f.o.c.

$$\lambda(t) = \frac {1}{c(t)^{\theta}}$$

Así que queremos

$$\lim_{t \to \infty} [e^{-\rho t}\frac {1}{c(t)^{\theta}} K(t)] = 0$$

y como en el modelo tenemos una tasa de crecimiento del consumo constante, $g_c$ tenemos

$$c(t)^{\theta} = c(0)^{\theta}\cdot e^{g_c\theta t}$$

Ignorando las constantes intrascendentes, necesitamos

$$\lim_{t \to \infty} [\frac {1}{e^{(\rho+g_c\theta) t}} K(t)] = 0$$

Utilizar la relación entre los activos del hogar y el número de bienes $N$ La relación entre la renta (del trabajo y de los activos) y la producción agregada, así como la expresión de la producción agregada en función de $N$ para obtener una ecuación diferencial lineal de primer orden en $N$ y proceder como en las páginas 208-209 del libro.