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Delimitada Estocástico discreto proceso de

Acabo de llegar a través de este proceso estocástico (enlace):

$dY_t = (a-bY_t)dt + c \sqrt{Y_t(1-Y_t)}dW_t$ donde $dW_t$ es un Proceso de Wiener. Según el autor, bajo ciertas condiciones, este proceso se encuentra acotada entre cero y uno.

Es allí cualquier tiempo discreto analógica de este proceso? He intentado:

$Y_{t+1} = (a-bY_t) + c \sqrt{Y_t(1-Y_t)}w_{t+1}$ donde $w_t$ es una variable aleatoria normal con media cero y varianza 1, pero supongo que este proceso podría saltar de los límites...

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fkydoniefs Puntos 11

Yo creo que el proceso que se ha postulado una Beta condicional de distribución. Si mi memoria me sirve bien, me he encontrado en el libro de Liptser y Shiryayev "Estadísticas de Procesos Aleatorios" como la evolución de la probabilidad condicional en un HMM. Esto fue hace más de 10 años, por lo tanto yo podría estar bien.

En ese caso se debe tomar una muestra de la versión Beta para discretizar

Actualización:

Mi error, la distribución estacionaria es la Beta, no el condicional. Por lo tanto, usted no será capaz de evolucionar a partir de Beta exactamente. La difusión se postulan se llama 'Jacobi difusión", véase Forman y Sørensen, el caso 6, en http://papers.ssrn.com/sol3/papers.cfm?abstract_id=1150110

Sospecho que usted podría ser capaz de utilizar el fondo de pantalla de PDF para producir un esquema aproximado para discretizar.

Actualización 2:

En realidad, me voy a cambiar la notación ligeramente y escribir $$d Y_t = \theta (\mu-Y_t)\ dt + \sqrt{2\alpha\theta Y_t(1-Y_t)}\ dB_t$$ que sabemos tiene una distribución estacionaria $Y_\infty\sim B\left(\frac{\mu}{\alpha}, \frac{1-\mu}{\alpha}\right)$.

Ahora, usar el cambio de variable $X_t = f(Y_t) = 2 \arcsin\sqrt{Y_t}$, lo que conduce a la difusión $$dX_t = \frac{\theta (\mu -\alpha/2) - (\alpha-1) \theta \sin^2 (X_t/2)}{|\sin X_t|}\ dt + \sqrt{2\alpha\theta}\ dB_t$$

Puede simular como $$x_{t+\delta} = x_t + \frac{\theta (\mu -\alpha/2) - (\alpha-1) \theta \sin^2 (x_t/2)}{|\sin x_t|}\ \delta + \sqrt{2\alpha\theta\delta}\ \epsilon_t,\quad \epsilon_t\sim N(0,1)$$ y luego se transforma de nuevo a producir los caminos $$y_t = \sin^2 (x_t/2)$$

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ef2011 Puntos 202

Usted no va a conseguir un proceso que se mantiene dentro de los límites si su incrementos normales son variables aleatorias que tienen una desenfrenada de distribución.

Usted probablemente desea ver algún tipo de paseo aleatorio, donde el incremento es una distribución discreta. En otras palabras, usted tiene un número finito de la lista de valores que sumar o restar, cada uno con una probabilidad positiva. La distribución puede cambiar basado en $t$ y el anterior valor de $Y_t$.

Un enfoque que creo que es muy prometedor para agregar una fracción de la diferencia entre el $Y_t$ y 0 o 1, dependiendo de la dirección.

Por ejemplo $Y_{t+1} = (a' - b'Y_t) + c'(1 - Y_t)$ con una probabilidad de $p(t, Y_t)$, e $Y_{t+1} = (a' - b'Y_t) - c'Y_t$ con una probabilidad de $1 - p(t, Y_t)$. Debe ser fácil para encontrar una función de $p(t, Y_t)$ de manera tal que la varianza de $Y_{t+1} - Y_t$ es exactamente lo que usted desea y, a continuación, ajustar el $a'$ e $b'$ al hacer la media de $Y_{t+1} - Y_t$ el mismo o similar para el caso continuo.

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