La fórmula de Black-Scholes para las opciones de compra, que mide la probabilidad

Question

La acción y el bono en el marco de Black-Scholes, sin dividendos: $$S_t=S_0e^{\sigma W_t+\mu t}=S_0e^{\sigma \tilde{W}_t +(r-\frac{1}{2}\sigma^2)t}$$ $$B_t=e^{rt}$$ donde $\tilde{W}_t$ es $\mathbb{Q}$ -movimiento browniano. Por lo tanto, la dinámica de los precios de las acciones neutrales al riesgo: $$S_T = LN_\mathbb{Q}(\ln{S_0}+(r-\frac{1}{2}\sigma^2)T,\sigma^2T)$$ Fórmula de Black-Scholes para las opciones de compra: \begin{align} V_0&=e^{-rT} \mathbb{E}_\mathbb{Q}[(S_T-k)^+]\\ &=e^{-rT}\mathbb{E}_\mathbb{Q}(S_T1_{S_T>k})-ke^{-rT}\mathbb{Q}(S_T>k)\\ &=S_0\Phi (d_1)-ke^{-rT}\Phi(d_2) \end{align} donde $$d_1=\frac{\ln{\frac{S_0}{k}}+(r+\frac{1}{2}\sigma^2 )T}{\sigma\sqrt{T}}$$ $$d_2=\frac{\ln{\frac{S_0}{k}}+(r-\frac{1}{2}\sigma^2 )T}{\sigma\sqrt{T}}$$ Mi pregunta es, ¿son $\Phi (d_1)$ y $\Phi (d_2)$ calculado bajo la medida de riesgo neutral $\mathbb{Q}$ o la medida del mundo real $\mathbb{P}$ ? ¿Y es $$e^{-rT}\mathbb{E}_\mathbb{Q}(S_T1_{S_T>k})-ke^{-rT}\mathbb{Q}(S_T>k)$$ o $$e^{-rT}\mathbb{E}_\mathbb{Q}(S_T1_{S_T>k})-ke^{-rT}\mathbb{P}(S_T>k)$$

Me parece obvio que deben ser computados bajo $\mathbb{Q}$ debido a la estrategia de fijación de precios de réplica que utiliza la dinámica de precios de las acciones neutrales al riesgo. Sin embargo, en los ejercicios de los libros de texto, encontrar el valor explícito de la opción de compra implica utilizar la tabla que contiene las probabilidades de la distribución normal estándar, que evidentemente se calculan bajo la medida del mundo real $\mathbb{P}$ .

Editar: Relacionado Comprender la solución de esta integral

Answer 1

Creo que aquí se confunden dos cosas.

En la fórmula de Black-Scholes, el término

\begin{equation} \Phi \left( d_2 \right) = \mathbb{Q} \left( \left. S_T > K \right| \mathfrak{F}_t \right) \end{equation}

es la probabilidad condicional de terminar in-the-money bajo la medida de probabilidad neutral al riesgo $\mathbb{Q}$ . De la misma manera,

\begin{equation} \Phi \left( d_1 \right) = \mathbb{S} \left( \left. S_T > K \right| \mathfrak{F}_t \right) \end{equation}

es la probabilidad condicional de acabar in-the-money bajo una medida auxiliar en la que el activo subyacente se utiliza como numerario. Ninguna de las dos es la probabilidad real de acabar "in-the-money".

La forma en que entiendo tu pregunta es que ahora pareces suponer que la evaluación de la función de distribución normal correspondiente depende de alguna medida. Esto no es así. Son sólo funciones y sus tablas de búsqueda son independientes de la respectiva interpretación probabilística.

Answer 2

De hecho, estas probabilidades se obtienen bajo diferentes medidas de probabilidad, pero debemos cambiar la medida $\mathbb{Q}$ a otra medida $\mathbb{Q}^S$ . Evaluación de $\mathbb{E}_{t}^{\mathbb{Q}}\left[S_T1_{S_T>K}\right]$ requiere cambiar la medida $\mathbb{Q}$ :

Consideremos la derivada de Radon-Nikodym $$\frac{d\mathbb{Q}}{d\mathbb{Q}^S}=\frac{B_T/B_t}{S_T/S_t}$$ donde $$B_t=\exp\left(\int_{0}^{t}r\,du\right)=e^{rt}$$ como resultado $${{\mathbb{Q}}^{S}}({{S}_{T}}>K)=\int\limits_{K}^{+\infty }{d{{\mathbb{Q}}^{S}}}=\frac{{{e}^{-r(T-t)}}}{{{S}_{t}}}\int\limits_{K}^{+\infty }{{{S}_{T}}\,d\mathbb{Q}}=\frac{{{e}^{-r(T-t)}}}{{{S}_{t}}}\int\limits_{K}^{+\infty }{{{S}_{T}}{{f}_{{{S}_{T}}}}(x)dx} $$ tenemos $$\mathbb{Q}^S(S_T>K)=\frac{e^{-r(T-t)}}{S_t}E^\mathbb{Q}[S_T|S_T>K]=N\left(\frac{\ln \left(\frac{X_t}{K}\right)+\left( r+\frac{1}{2}\sigma ^{2} \right)(T-t)}{\sigma^2\sqrt{T-t}}\right)$$ En efecto, $$\mathbb{Q}^S(S_T>K)=N(d_1)$$ por otro lado $$V(t,S_t)=e^{-r(T-t)}\mathbb{E}_{t}^{\mathbb{Q}}\left[\,\max\{S_T-K\},0\,\right]$$ es evidente $$\max\{S_T-K,0\}=(S_T-K)\mathbb{1}_{\{S_T>K\}}$$ entonces $$V(t,S_t)=e^{-r(T-t)}\mathbb{E}_{t}^{\mathbb{Q}}\left[S_T\mathbb{1}_{\{S_T>K\}}\right]-e^{-r(T-t)}\mathbb{E}_{t}^{\mathbb{Q}}\left[K\mathbb{1}_{\{S_T>K\}}\right]$$ como resultado $$V(t,S_t)=X_t\,\mathbb{E}_{t}^{\mathbb{Q}}\left[\frac{S_T/S_t}{B_T/B_t}\mathbb{1}_{\{X_T>K\}}\right]-Ke^{-r(T-t)}\mathbb{E}_{t}^{\mathbb{Q}}\left[\mathbb{1}_{\{S_T>K\}}\right]$$ En otras palabras $$V(t,S_t)=S_t\mathbb{E}_{t}^{\mathbb{Q}^S}\left[\mathbb{1}_{\{S_T>K\}}\right]-Ke^{-r(T-t)}\mathbb{E}_{t}^{\mathbb{Q}}\left[\mathbb{1}_{\{S_T>K\}}\right]$$ así que $$\color{red}{V(t,S_t)=S_t\mathbb{Q}^S(S_T>K)-Ke^{-r(T-t)}\mathbb{Q}(S_T>K)}$$ Finalmente $$V(t,S_t)=S_tN(d_1)-Ke^{-r(T-t)}N(d_2)$$