La comprensión de la solución de esta integral

Question

La siguiente integral representa un valor esperado de un movimiento browniano geométrico de $S_T>K$ (es decir, parte de la Black-Scholes llamada de precio de la opción): $$\int_{z^*} (S_te^{\mu\tau\frac{1}{2}\sigma^2\tau+\sigma\sqrt{\tau}z})\frac{1}{\sqrt{2\pi}}e^{-\frac{z^2}{2}}dz =e^{\mu\tau}S_tN(d_1^*)$$ con $z^*=\frac{\ln\frac{K}{S_t}-(\mu\sigma^2/2)\tau}{\sigma\sqrt{\tau}}$, $d_1^*=\frac{\ln\frac{S_t}{K}+(\mu+\sigma^2/2)\tau}{\sigma\sqrt{\tau}}$ y $N(\cdot)$ acumulativa Standardnormal de distribución.

¿Puede por favor explicar cómo esta igualdad se obtiene?

Answer 1

Deje que $\tau = T-t$. Entonces \begin{align*} S_T = S_t e^{(\mu - \frac{1}{2}\sigma^2) \tau + \sigma \sqrt{\tau}\, Z}, \end{align*} donde $Z$ es una variable aleatoria normal estándar, independiente de $\mathcal{F}_t$. Por otra parte, \begin{align*} E\left(S_T 1_{\{S_T >K\}}\mid \mathcal{F}_t \derecho) &= E\left(S_t e^{(\mu - \frac{1}{2}\sigma^2) \tau + \sigma \sqrt{\tau}\, Z}\, 1_{\left\{S_t e^{(\mu - \frac{1}{2}\sigma^2) \tau + \sigma \sqrt{\tau}\, Z} >K\derecho\}}\mid \mathcal{F}_t \derecho)\\ &=\int_{-\infty}^{\infty}S_t e^{(\mu - \frac{1}{2}\sigma^2) \tau + \sigma \sqrt{\tau}\, z}\, 1_{\left\{S_t e^{(\mu - \frac{1}{2}\sigma^2) \tau + \sigma \sqrt{\tau}\, z} >K\derecho\}} \frac{1}{\sqrt{2\pi}}e^{-\frac{z^2}{2}} dz\\ &=\int_{z^*}^{\infty}S_t e^{(\mu - \frac{1}{2}\sigma^2) \tau + \sigma \sqrt{\tau}\, z}\frac{1}{\sqrt{2\pi}}e^{-\frac{z^2}{2}} dz\\ &=\int_{z^*}^{\infty}\frac{1}{\sqrt{2\pi}} S_t e^{(\mu - \frac{1}{2}\sigma^2) \tau + \sigma \sqrt{\tau}\, z - \frac{z^2}{2}}dz\\ &=\int_{z^*}^{\infty}\frac{1}{\sqrt{2\pi}} S_t e^{(\mu - \frac{1}{2}\sigma^2) \tau\frac{1}{2}(z-\sigma \sqrt{\tau})^2 +\frac{1}{2}\sigma^2 \tau }dz\\ &=S_t e^{u\tau} \int_{z^* - \sigma \sqrt{\tau}}^{\infty} \frac{1}{\sqrt{2\pi}}e^{-\frac{x^2}{2}}dx\\ &=S_t e^{u\tau}N(\sigma \sqrt{\tau}-z^*)\\ &=S_t e^{u\tau}N(d_1^*), \end{align*} donde \begin{align*} d_1^* &= \sigma \sqrt{\tau}-z^*\\ &=\frac{\ln\frac{S_t}{K}+(\mu+\sigma^2/2)\tau}{\sigma\sqrt{\tau}}. \end{align*}

Answer 2

Otra toma en la cuestión que utiliza el cálculo estocástico

[Digresión]

Asumir determinista y constante sin pérdida de generalidad. Supongamos también que la ausencia de oportunidades de arbitraje y la integridad del mercado

Vamos a $B_t$ denotar el tiempo$t$ valor de un libre de riesgo del mercado de dinero de la cuenta en la que 1 unidad de moneda $C$ ha invertido en $t=0$: \begin{align} & dB_t = rB_t dt,\ \ B(0)=1 \\ \ffi& B_t = e^{rt} \end{align}

Bajo el riesgo-neutral de la medida $\mathbb{Q}_B$ asociadas a la numéraire $B_t$, para cualquier negociables activo $V_t$ $$ \frac{V_t}{B_t} \text{ es } \mathbb{Q}_B\text{-martingala} $$

Ahora, suponga que el precio de las acciones sigue una GBM en $\mathbb{Q}_B$ \begin{align} &\frac{dS_t}{S_t} = r dt + \sigma dW_t^{\mathbb{Q}_B},\ \ S(0)=S_0 > 0 \\ \ffi& S_T = S_0 e^{(r-\frac{\sigma^2}{2})T + \sigma W_T^{\mathbb{Q}_B}} \end{align}

Definir un EMM $\mathbb{Q}_S$ que utiliza el precio de las acciones $S_t$ como numéraire, entonces para cualquier negociables activo $V_t$ $$ \frac{V_t}{S_t} \text{ es } \mathbb{Q}_S\text{-martingala} $$

Desde el 2 de EMM definiciones simultáneamente, se han $$ \frac{V_0}{B_0} = E^{\mathbb{Q}_B}\left[\frac{V_T}{B_T} \vert \mathcal{F}_0\derecho] $$ $$ \frac{V_0}{S_0} = E^{\mathbb{Q}_S}\left[\frac{V_T}{S_T} \vert \mathcal{F}_0\derecho] $$ re-organización vemos que $$ E^{\mathbb{Q}_B}\left[\frac{V_T B_0}{B_T} \vert \mathcal{F}_0\derecho] = E^{\mathbb{Q}_S}\left[\frac{V_T S_0}{S_T} \vert \mathcal{F}_0\derecho] (\ = V_0) $$ en otras palabras, el Radon-Nikodym derivado del cambio de la medida escribe: $$ \left. \frac{d\mathbb{Q}_S}{d\mathbb{Q}_B} \right\vert \mathcal{F}_t = \frac{S_T B_0}{S_0 B_T} = e^{-\frac{\sigma^2}{2}t + \sigma W_t^{\mathbb{Q}_B}} $$ que es un Doléans-Dade exponencial $$ \left. \frac{d\mathbb{Q}_S}{d\mathbb{Q}_B} \right\vert \mathcal{F}_t = \mathcal{E}(\sigma W_t^{\mathbb{Q}_B}) $$

Utilizando el teorema de Girsanov, podemos escribir que \begin{align} W_{t}^{\mathbb{Q}_S} &= W_{t}^{\mathbb{Q}_B} - \langle W_{t}^{\mathbb{Q}_B}, \sigma W_t^{\mathbb{Q}_B} \rangle_t \\ &= W_{t}^{\mathbb{Q}_B} - \sigma t \end{align}

Por lo tanto la dinámica de $S_t$ en $\mathbb{Q}^S$ lee \begin{align} &\frac{dS_t}{S_t} = (r + \sigma^2) dt + \sigma dW_t^{\mathbb{Q}_S},\ \ S(0)=S_0 > 0 \end{align}

[Cálculo]

Ahora, la expectativa:

$$ e^{-rT} E^{\mathbb{Q}_B} \left( S_T 1_{\{S_T >K\}}\mid \mathcal{F}_0 \derecho) = E^{\mathbb{Q}_B} \left( \frac{S_T 1_{\{S_T >K\}} B_0}{B_T} \mid \mathcal{F}_0 \right) $$

puede ser escrita (cambio de la medida)

$$ S_0 E^{\mathbb{Q}_S}\left(1_{\{S_T >K\}}\mid \mathcal{F}_0 \right) $$

y esta expectativa es fácil de calcular, ya que hemos demostrado que $S_T$ restos lognormal menos de $\mathbb{Q}_S$.

De hecho, es exactamente la misma derivación como para $E^{\mathbb{Q}_B}(1_{\{S_T >K\}}) = \mathbb{Q}_B(S_T > K) = N(d_2)$, donde uno se tiene que reemplazar $r$ por $r+\sigma^2$, por lo tanto el definitin de $d_1$.