Maximización con neutrales al riesgo de los inversores y VaR restricciones

Question

En este papel, los autores hacen un modelo simple con:

(1) Un banco global, que es de riesgo-neutro, sino que tiene un Valor en Riesgo de restricción:

$$\max_{x_t^B} E_t[x_t^B\prime R_{t+1}]$$ s.t. $$\alpha (Var(x_t^B\prime R_{t+1}))^{\frac{1}{2}} <= 1$$ donde $R_{t+1}$ es un (n x 1) vector de retornos, $x_t^B$ es un (n x 1) vector de pesos $\alpha$ es un parámetro, y $Var$ es la varianza del operador.

He intentado configurar un lagrangean lo cual debería producir:

$$ \mathcal{L} = E_t[x_t^B\prime R_{t+1}] - \lambda_t (1 - \alpha (Var(x_t^B\prime R_{t+1}))^{\frac{1}{2}}) $$

El primer fin de las condiciones de w.r.t. $x_t^B$ están dando a mí:

$$ E_t(R_{t+1}) - \lambda_t \alpha Var(x_t^B\prime R_{t+1})^{-\frac{1}{2}} Var(R_{t+1}) x_t^B = 0 $$

En comparación con la solución dada en el papel parece que tengo un plazo adicional $ Var(x_t^B\prime R_{t+1})^{-\frac{1}{2}}$.

Alguien me puede ayudar en esto? Gracias.

Answer 1

Respecto a tu pregunta, parece que el tratamiento de la varianza como un operador lineal, que no lo es. Pero es difícil de decir su parantheses no coinciden.

Answer 2

Totalmente de acuerdo con @Kiwiakos' comentario, esto no es un 'VaR' (Valor En Riesgo) de la restricción, sino más bien un 'Var' (Varianza) de la restricción.

He aquí cómo iba a hacerlo, voy a soltar el superíndice $B$ mantener anotaciones ordenadas.

En primer lugar, la plaza de la restricción original para obtener una desigualdad que involucra la varianza en lugar de la desviación estándar. El próximo construir el Lagrangiano

$$ \mathcal{L}(x_t^\prime) = E_t[ x_t^\prime R_{t+1} ] - \lambda \left( 1 - \alpha^2 \text{Var}(x_t^\prime R_{t+1}) \right) $$

Suponiendo que no hay más restricciones en la cartera de pesos, de KKT estado estacionario escribe:

$$ \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial x_t^\prime}(x_t^\prime) = \frac{\partial}{\partial x_t^\prime} \left( E_t[ x_t^\prime R_{t+1} ] - \lambda \left( 1 - \alpha^2 \left( E_t[\left(x_t^\prime R_{t+1}\right)^2] - E_t[x_t^\prime R_{t+1}]^2 \right) \right) \right) = 0$$

Por la linealidad de la expectativa de operador, la RHS igualmente escribe $$ \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial x_t^\prime}(x_t^\prime) = E_t[ R_{t+1} ] + \lambda \alpha^2 \left( E_t[2(x_t^\prime R_{t+1})R_{t+1}] - 2 E_t[x_t^\prime R_{t+1}] E_t[R_{t+1}] \right) $$

Finalmente, debido a que la cartera de pesos $x_t$ son conocidos en el momento $t$ \begin{align} \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial x_t^\prime}(x_t^\prime) &= E_t[ R_{t+1} ] + 2 x_t^\prime \lambda \alpha^2 \left( E_t[R_{t+1}^2] - E_t[R_{t+1}]^2 \right) \\ &= E_t[ R_{t+1} ] + \tilde{\lambda} x_t^\prime \text{Var}(R_{t+1}) \end{align}

Es que el resultado dado en el que se hace referencia en papel? Yo no puedo confirmar ya que parece estar detrás de un paywall.