Lemma de Ito, diferenciación de una integral con movimiento browniano

Question

En ¿Cómo se obtuvieron estos SDE? No entiendo una parte de la respuesta de Gordon, concretamente:

$$\ln S_t=\ln F_{0,t}-\frac{\sigma^2}{4\lambda}(1-e^{-2\lambda t})+\sigma e^{-\lambda t}\int_0^t e^{\lambda s}dB_s$$ $$d\ln S_t=\bigg(\frac{\partial \ln F_{0,t}}{\partial t}-\frac{\sigma^2 }{2}e^{-2\lambda t}-\lambda \sigma e^{-\lambda t}\int_0^t e^{\lambda s}dB_s\bigg)dt+\sigma dB_t$$

Mi pregunta es cómo pasar de la primera línea a la segunda. Evidentemente, se aplicó el Lemma de Ito, sin embargo se ha utilizado de una manera en la que no me he encontrado. Parece que la integral con el término de movimiento browniano se trató como una constante, pero no veo cómo se permite cuando hay $t$ en el límite superior.

Se agradece cualquier ayuda.

Edición: Se me ha ocurrido una solución, siempre y cuando lo siguiente sea válido. ¿Alguien puede confirmarlo? La primera línea utiliza la regla del producto. \begin{align} d\bigg(\sigma e^{-\lambda t}\int_0^t e^{-\lambda s}dB_s\bigg)&=d(\sigma e^{-\lambda t})\int_0^t e^{-\lambda s}dB_s+\sigma e^{-\lambda t}d\bigg(\int_0^t e^{\lambda s}dB_s\bigg)\\ &=-\lambda\sigma e^{-\lambda t}dt \int_0^t e^{-\lambda s}dB_s+\sigma e^{-\lambda t}e^{\lambda t}dB_t\\ &=-\lambda\sigma e^{-\lambda t}dt \int_0^t e^{-\lambda s}dB_s+\sigma dB_t \end{align}

Answer 1

Tiene razón en el uso de la regla del producto.

Desde $\sigma e^{-\lambda t}$ es un proceso de variación finita, no tiene término de crochet y esta es la regla del producto estándar.

En su segunda línea, hay un extra $t$ (que es una errata, supongo)

$$\ln S_t=\ln F_{0,t}-\frac{\sigma^2}{4\lambda}(1-e^{-2\lambda t})+\sigma e^{-\lambda t}\int_0^t e^{\lambda s}dB_s$$ $$d\ln S_t=\bigg(\frac{\partial \ln F_{0,t}}{\partial t}-\frac{\sigma^2 }{2}e^{-2\lambda t}-\lambda \color{red}{t}\sigma e^{-\lambda t}\int_0^t e^{\lambda s}dB_s\bigg)dt+\sigma dB_t$$ la ecuación correcta es: $$d\ln S_t=\bigg(\frac{\partial \ln F_{0,t}}{\partial t}-\frac{\sigma^2 }{2}e^{-2\lambda t}-\lambda \sigma e^{-\lambda t}\int_0^t e^{\lambda s}dB_s\bigg)dt+\sigma dB_t$$