Precios de los bonos en términos de tipos a corto y a futuro

Question

Por supuesto, el precio de un bono de descuento puro $P(t,T)$ puede expresarse en términos de su rendimiento $R(t,T)$ como $$ P(t,T) = e^{-R(t,T)(T-t)}. $$ Supongamos que tanto el tipo corto (instantáneo) $r(t)$ y el tipo de cambio a plazo (instantáneo) $f(t,T)$ son funciones deterministas. Las relaciones con los precios de los bonos de descuento son \begin{align} r(t) & = -\frac{\partial}{\partial T} \log P(t,t), \\ f(t,T) & = -\frac{\partial}{\partial T} \log P(t,T). \end{align} De ello se desprende que $$ P(t,T) = \exp\left(-\int_t^T f(t,u) \, du\right) \qquad (1). $$

Por otro lado, el precio de los bonos se suele expresar en términos de expectativas neutrales al riesgo utilizando la tasa corta como por ejemplo $$ P(t,T) = E_Q\left(\exp\left(-\int_t^T r(u) \, du\right) \mid \mathcal{F}_t\right), $$ y como estoy asumiendo $r(t)$ es determinista, debería ser que $$ P(t,T) = \exp\left(-\int_t^T r(u) \, du\right) \qquad (2). $$ Comparando las ecuaciones (1) y (2), parece que $$ \int_t^T r(u) \, du = \int_t^T f(t,u) \, du. $$

¿Tiene esto algún sentido? Además, como $P(t,T) = e^{-R(t,T)(T,t)}$ , obtendríamos $$ R(t,T) = \frac{1}{T-t}\int_t^T f(t,u) \, du = \frac{1}{T-t}\int_t^T r(u) \, du. $$ Es decir, el rendimiento es a la vez la media del tipo a plazo instantáneo (esto es cierto), y la media del tipo instantáneo al contado. ¿Es esta última afirmación cierta?

Answer 1

Como el tipo de interés es determinista, para $t< u \le T$ , \begin{align*} f(t, u) &= -\frac{\partial}{\partial u} \ln P(t, u)\\ &=-\frac{\partial}{\partial u} \ln \left(E\left(\exp\left(-\int_t^u r(s)\, ds \right) \mid \mathcal{F}_t\right) \right)\\ &=-\frac{\partial}{\partial u} \ln \left(\exp\left(-\int_t^u r(s)\, ds\right) \right)\\ &=\frac{\partial}{\partial u}\int_t^u r(s)\, ds \\ &= r(u). \end{align*} En consecuencia, \begin{align*} \frac{1}{T-t}\int_t^T f(t, u)\, du = \frac{1}{T-t}\int_t^T r(u)\, du. \end{align*}

Answer 2

Esto dice que si los tipos son deterministas, el tipo al contado sigue los tipos a plazo que se observan inicialmente. Tiene sentido.