calcular el valor gamma mediante el método de las diferencias finitas

Question

Intento utilizar el método de diferencias finitas para obtener el valor aproximado de la gamma, pero hay un problema que no puedo resolver.

En primer lugar, he puesto $h$ a 1 punto base del valor del activo subyacente, pero el resultado no es correcto; entonces uso el valor de mercado de la gamma encontrar $h$ para compararlo con mi configuración original. Por ejemplo, para obtener la gamma del mercado, el activo subyacente 500 debería establecer h a 0,35 puntos básicos del valor subyacente y el activo subyacente 20 debería establecer h a 0,58 puntos básicos del valor subyacente.

¿Cómo se establece el tamaño del paso (h) para el método de las diferencias finitas? Me pregunto si hay un $h$ a un resultado óptimo.

La fórmula que he utilizado:

   f(x)'' = (f(x+h)-2*f(x)+f(x-h ))/h^2

Answer 1

El problema de tu fórmula es el signo de la ecuación $=$ . La diferencia finita de segundo orden es sólo una aproximación a la verdadera gamma:

$$ f^{\prime \prime}(x) \approx \frac{f(x+h)-2f(x)+f(x-h)}{h^2}. $$ $h$ no puede ser un resultado. Lo ideal sería pequeño (sea lo que sea que eso signifique), por lo que su elección original de $1\text{bp}$ parece apropiado para esta aproximación.

Para probar la aproximación, calcularía la opción teórica Gammma del modelo BS, y luego la aproximación para valores cada vez más pequeños de $h$ . Si converge, la aplicación es correcta. Entonces, puedes preocuparte de otras cosas más sutiles.

Probablemente uno de los puntos más sutiles en este contexto es la notación. No está claro qué se entiende por $f(x+h)$ . Para una simple aproximación de la derivada de una función suave, todo está claro. Ya que sabemos que con un aumento del precio, al menos la volatilidad implícita también cambiará (ya que el dinero de la opción cambia). Partiendo del marco de black-scholes para algunos podría ser más apropiado calcular algo así:

$$ f^{\prime \prime}(x) \approx \frac{f_{\text{up}}(x+h)-2f(x)+f_{\text{down}}(x-h)}{h^2}. $$ donde $f_{\text{up}}$ y $f_{\text{down}}$ son diferentes de $f$ . Simplemente porque los demás parámetros de la función de fijación de precios dependen implícitamente del precio de las acciones (modificado).

Answer 2

Yo diría que el tamaño del choque depende de la situación/actividad. Si su modelo produce PVs algo ruidosos, es aconsejable utilizar un tamaño ligeramente mayor $h$ para evitar problemas numéricos. También puede basar su decisión en el rendimiento empírico de la cobertura. Esto puede ayudar o no, pero la mayoría de los proveedores de índices de bonos (Citi/Barclays) utilizan un tamaño de choque de 25 puntos básicos cuando informan de las duraciones y convexidades efectivas.