Supongamos que un consumidor preferencia sobre la riqueza de los juegos (loterías) puede ser representado por dos veces diferenciable Von Neumann Morgenstern función de utilidad. Muestran que los consumidores tienen preferencia sobre los juegos son independientes inicial de su riqueza si y sólo si su función de utilidad de muestra Constante Absoluta Aversión al Riesgo (CARA).
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Thanassis
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Supongamos que una feria de apuesta paga $G = \pm \epsilon$ donde $\displaystyle P(G=\epsilon ) = P(G = -\epsilon) = \frac{1}{2}$.
Desde el clásico trabajo que se describe en
Pratt, J. W. (1964) "la Aversión al Riesgo en la Pequeña y en la Grande'" Econometrica 55,143-54
para las pequeñas apuestas, la cantidad absoluta de un agente está dispuesto a pagar para evitar un riesgo de un determinado tamaño se determina por el coeficiente de absoluta aversión al riesgo.
Un mal argumento, tenemos una aversión al riesgo del agente con la inicial de la riqueza $W_0$ y la función de utilidad de $U$ dispuesto a pagar $\delta$ para evitar la jugada tal que $\delta$ está determinado por
$$U(W_0 - \delta) = E[U(W_0+G)]=\frac{1}{2}U(W_0 +\epsilon) + \frac{1}{2}U(W_0- \epsilon).$$
El uso de la expansión de Taylor de alrededor de U $W_0$ hemos
$$U(W_0) -U'(W_0)\delta + \frac{1}{2} U''(W_0)\delta^2 + \ldots \\ = \frac{1}{2} [U(W_0) +U'(W_0)\epsilon + \frac{1}{2} U''(W_0)\epsilon^2 + \ldots ] \\ +\frac{1}{2} [U(W_0) -U'(W_0)\epsilon + \frac{1}{2} U''(W_0)\epsilon^2 + \ldots ] \\ = U(W_0) + \frac{1}{2}U''(W_0) \epsilon^2 + \ldots $$
La solución para $\delta$ para las pequeñas $\epsilon$ tenemos
$$\delta \approx \frac{\epsilon^2}{2}\left[- \frac{U''(W_0)}{U'(W_0)} \right].$$
La prima para evitar un riesgo es independiente de la inicial de la riqueza si y sólo si existe una constante $\gamma$ tal que
$$- \frac{U''(W)}{U'(W)} = \gamma .$$
La solución de esta ecuación diferencial obtenemos
$$U(W) = C_1 - e^{C_2} \frac{e^{-\gamma W}}{\gamma}.$$
Sin pérdida de generalidad (de la invariabilidad de las propiedades de las funciones de utilidad) podemos establecer $C_1 = C_2 = 0$ para obtener la función de utilidad de CARA
$$U(W) = - \frac{e^{-\gamma W}}{\gamma}.$$
