Considere el modelo Black-Scholes y el activo derivado:
$$ X = \begin{cases} K, \qquad \qquad \qquad \quad S_T\leq A, \\ K+A-S_T, \qquad A\leq S_T < K+A, \\ 0, \qquad \qquad \qquad \quad S_T>K+A. \end{cases} $$
Reproduzca este derivado utilizando una cartera formada por un bono, un activo S y una opción de compra europea. Encuentre el precio libre de arbitraje para X.
¿Alguien puede explicarme cómo resolver este ejercicio? No consigo entender el concepto. Gracias.
Para replicar esta recompensa, observamos que \begin{align*} X &= K\,\mathbb{I}_{S_T \le A} + (K+A-S_T)\, \mathbb{I}_{A< S_T \le K+A}\\ &=K\,\mathbb{I}_{S_T \le A} + (K+A-S_T)\, \mathbb{I}_{S_T>A} - (K+A-S_T)\, \mathbb{I}_{S_T > K+A}\\ &= K - (S_T-A)\, \mathbb{I}_{S_T>A} + (S_T-(K+A))\, \mathbb{I}_{S_T > K+A}\\ &= K - (S_T-A)^+ + (S_T-(K+A))^+. \end{align*} Es decir, largo un bono de cupón cero, corto una opción de compra con strike $A$ y larga una opción de compra con strike $K+A$ .
Este puesto equivale a una combinación de bonos y bear vertical call spread .
Imagina que en el momento $t$ usted es el dueño $Ke^{-r(T-t)}$ bonos de cupón cero. Entonces, en el momento T recibirá K en efectivo.
El spread consiste en 1 opción de compra europea corta con strike A y 1 opción europea larga con strike A+K.
Si $S_T < A $ ambas opciones no tienen dinero, por lo que sus pagos son nulos. Por lo tanto, sólo recibirá $K$ de su posición de bonos.
Si $ A \leq S_T < K+A$ 1 llamada europea corta le generará pérdidas de $A - S_T$ y 1 largo no generará nada. Por lo tanto, recibirá $K$ de bonos y $A - S_T$ de la propagación, $K + A - S_T$ en total.
En caso de que $ S_T \geq K+A$ Recibirá $A - S_T$ de la opción corta y $S_T - (K+A) $ de la opción larga o $-K$ del diferencial. Junto con su posición de bonos recibirá cero en total.
Por la Ley del Precio Único, el precio libre de arbitraje de $X$ será : $$ X(t) = Ke^{-r(T-t)} + C(K+A, t) - C(A, t)$$
donde $C(L,t)$ el precio en el momento $t$ de la opción europea con strike $L$ .
Por ejemplo, si pudiera vender su valor derivado por el precio $M > X(t)$ entonces se podría utilizar $X(t)$ replicar la posición comprando el bono y el diferencial como se ha descrito anteriormente y mantener $M - X(t)$ como su beneficio sin riesgo. Esto es un arbitraje.
Véase también el capítulo 3 "Replicación estática y dinámica" en E. Derman "La sonrisa de la volatilidad"
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La gráfica de la función de pago dada anteriormente puede ayudar. A continuación, intente compararla con los resultados conocidos de las opciones de compra, de venta, etc.