Fijar el precio de un cero con el modelo Vasicek

Question

Estoy tratando de entender el precio de los bonos con el modelo de tipos de interés de Vasicek. Para ello estoy utilizando el libro de McDonald (no los deberes).

Recordemos que la dinámica Vasicek es \begin{equation*} \mathrm{d}r_t = a(b - r_t) \mathrm{d}t + \sigma \mathrm{d}Z_t. \end{equation*}

Ahora, Macdonald introduce las fórmulas afines exponenciales para tasar una unidad cero:

\begin{align*} P(r,t,T) &= A(t,T)\exp\left(rB(t,T)\right) \\ A(t,T) &= \exp\left(\bar{r} (B(t,T) - T + t) + \frac{B(t,T)^2\sigma^2}{4a}\right)\\ B(t,T) &= \frac{1 - e^{-a(T-t)}}{a}\\ \bar{r} &= b + \frac{\sigma\phi}{a} - \frac{\sigma^2}{a^2} \end{align*}

Al derivar estas expresiones, Macdonald nos pide que supongamos que $\phi$ que es el ratio de Sharpe para el movimiento, es constante. Pero podemos ver que sólo es constante cuando $a = 0$ .

Más adelante, Macdonald habla del ratio de Sharpe para el "riesgo de tipo de interés", una expresión que me parece muy oscura. ¿Se trata del proceso del precio de los bonos? ¿El proceso Vasicek? En cualquiera de los casos, se rigen por el mismo movimiento browniano y deberían tener el mismo ratio de Sharpe (no constante).

¿Puede alguien explicar cómo aplicar estas fórmulas? Con un simple croquis bastaría pero la presentación me deja perplejo.

Answer 1

Precios de los bonos

Supongamos que el tipo corto $r_t$ sigue el proceso Ito descrito por la siguiente ecuación diferencial estocástica \begin{align} d{{r}_{t}}=\mu ({{r}_{t}},t)dt+\sigma ({{r}_{t}},t)d{{W}_{t}^{P}} \end{align} suponemos que el precio del bono depende de $r_t$ únicamente, independientemente del riesgo de impago, la liquidez y otros factores. Si escribimos el precio del bono como $P(r_t, t)=V(t,r_t,T)$ tal que $V(t,r_t,t)=1$ entonces \begin{align} dV=({{V}_{t}}+\mu \,{{V}_{r}}\,+\frac{1}{2}{{\sigma }^{2}}{{V}_{rr}})dt+\sigma {{V}_{r}}d{{W}_{t}} \end{align} Para simplificar, dejemos que \begin{align} & {{\mu }_{V}}=\frac{{{V}_{t}}+\mu {{V}_{r}}\,+\frac{1}{2}{{\sigma }^{2}}{{V}_{rr}}}{V} \\ & {{\sigma }_{V}}=\frac{\sigma {{V}_{r}}\,}{V} \\ \end{align} por lo que tenemos \begin{align} dV={{\mu }_{V}}\,Vdt+{{\sigma }_{V}}\,V\,d{{W}_{t}} \end{align} Se construye la siguiente cartera: compramos un bono de valor en dólares V1 con vencimiento $T_1$ y vender otro bono de dólar valor en dólares $V_2$ con madurez $T_2$ . El valor de la cartera $\Pi$ viene dada por \begin{align} \Pi ={{V}_{1}}-{{V}_{2}} \end{align} Según la dinámica del precio de los bonos, tenemos \begin{align} \Pi =({{\mu }_{{{V}_{1}}}}{{V}_{1}}-{{\mu }_{{{V}_{2}}}}{{V}_{2}})\,dt+({{\sigma }_{{{V}_{1}}}}{{V}_{1}}-{{\sigma }_{{{V}_{2}}}}{{V}_{2}})\,d{{W}_{t}} \end{align} Supongamos que $V_1$ y $V_2$ se eligen de forma que \begin{align} & {{V}_{1}}=\frac{{{\sigma }_{{{V}_{2}}}}}{{{\sigma }_{{{V}_{2}}}}-{{\sigma }_{{{V}_{1}}}}}\Pi \\ & {{V}_{2}}=\frac{{{\sigma }_{{{V}_{1}}}}}{{{\sigma }_{{{V}_{2}}}}-{{\sigma }_{{{V}_{1}}}}}\Pi \\ \end{align} entonces el término estocástico en $d\Pi$ desaparece y la ecuación se convierte en $$d\Pi =\left( \frac{{{\mu }_{{{V}_{1}}}}{{\sigma }_{{{V}_{2}}}}-{{\mu }_{{{V}_{2}}}}{{\sigma }_{{{V}_{1}}}}}{{{\sigma }_{{{V}_{2}}}}-{{\sigma }_{{{V}_{1}}}}} \right)\Pi \,dt$$ Dado que la cartera carece de riesgo de forma instantánea, para evitar oportunidades de arbitraje, debe ganar el tipo corto sin riesgo, de modo que $d\Pi =r(t)\Pi dt$ entonces $$\frac{{{\mu }_{{{V}_{1}}}}-r(t)}{{{\sigma }_{{{V}_{1}}}}}=\frac{{{\mu }_{{{V}_{2}}}}-r(t)}{{{\sigma }_{{{V}_{2}}}}}$$ La relación anterior es válida para fechas de vencimiento arbitrarias $T_1$ y $T_2$ por lo que el ratio debería ser independiente de la madurez $T$ Dejemos que la relación común se defina por $\lambda$ Es decir, $$\frac{{{\mu }_{V}}-r(t)}{{{\sigma }_{V}}}=\lambda \,({{r}_{t}},t)$$ La cantidad $\lambda$ se llama el precio de mercado del riesgo del tipo corto.Si sustituimos $μ_V(r, t)$ y $σ_V(r, t)$ en la ecuación anterior, obtenemos la siguiente ecuación diferencial gobernante para el precio de un bono de cupón cero $${{V}_{t}}+(\mu -\lambda \sigma \,){{V}_{r}}\,+\frac{1}{2}{{\sigma }^{2}}{{V}_{rr}}-{{r}_{t}}\,V=0$$

Medida del cambio

asumimos $Q$ sea una medida martingala tal que $$dW_{t}^{P}=-\lambda(r,t)dt+dW_{t}^{Q}$$ por lo que tenemos $$d{{r}_{t}}=\mu^*(r_t,t)dt+\sigma ({{r}_{t}},t)dW_{t}^{Q}$$ donde $$\mu^*(r_t,t)=\mu({{r}_{t}},t)-\lambda ({{r}_{t}},t)\sigma ({{r}_{t}},t)$$

Modelos de estructura temporal afín

Un modelo de tipo corto que genera la solución del precio del bono de la forma $$P(t\,,T)=V(t,r_t,T)={{e}^{A(t,T)\,-\,B(t,T){{r}_{t}}\,}}$$ Supongamos que la dinámica del tipo corto $r_t$ bajo la medida de riesgo neutral $Q$ se rige por \begin{align} d{{r}_{t}}=\mu^* ({{r}_{t}},t)dt+\sigma ({{r}_{t}},t)d{{W}_{t}^{Q}} \end{align} donde \begin{align} &\mu^* ({{r}_{t}},T)=\alpha (t)\,{{r}_{t}}+\beta (t) \\ &{{\sigma }^{2}}({{r}_{t}},T)=\gamma (t)\,{{r}_{t}}+\delta (t) \\ \end{align} Mostramos la ecuación de gobierno para $P(t, T )=V(t,r,T)$ viene dada por $${{V}_{t}}+\mu ^*{{V}_{r}}\,+\frac{1}{2}{{\sigma }^{2}}{{V}_{rr}}-{{r}_{t}}\,V=0$$

Sustituyendo la supuesta solución afín del precio de los bonos en esta ecuación, obtenemos \begin{align} & {{B}_{t}}(t,T)+\alpha (t)B(t,T)-\frac{1}{2}\gamma (t){{B}^{2}}(t,T)=-1 \\ &B(T,T)=0 \\ \end{align} y \begin{align} & {{A}_{t}}(t,T)=\beta (t)B(t,T)-\frac{1}{2}\delta (t){{B}^{2}}(t,T) \\ & A(T,T)=0 \\ \end{align}

Modelo Vasicek

Vasicek (1977) propuso el proceso estocástico para la tasa corta $r_t$ bajo la medida de Martingle que se rige por el proceso de Ornstein-Uhlenbeck: $$d{{r}_{t}}=a(b-r_t)dt+\sigma d{{W}_{t}^{Q}}$$ por lo que \begin{align} & \alpha (t)=-a\,\,\,\,\,\,,\,\,\,\,\,\,\,\beta (t)=ab \\ & \gamma (t)=\,0\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,,\,\,\,\,\,\,\,\,\delta (t)={{\sigma }^{2}} \\ \end{align} por lo que tenemos $$ B(t,T)= \frac{1 - e^{-a(T-t)}}{a}\\$$ y $$ A(t,T)= exp\left((b + \frac{\sigma\phi}{a}-\frac{\sigma^2}{a^2})(B(t,T) - T + t) + \frac{B(t,T)^2\sigma^2}{4a}\right)$$