Volatilidad de la calibración Hull-White en función del tiempo

Question

Necesito ayuda para la parametrización del parámetro de volatilidad en el modelo Hull-White.

Tengo los vols necesarios de Caplet y he calibrado el modelo HW para que coincida con el Caplet y, por tanto, con los precios de Cap exactamente.

Pero calibré la volatilidad como un factor para cada Caplet. No parametricé la volatilidad en función del tiempo para cada T.

Esa podría ser la razón por la que mi volatilidad es siempre mayor que la del Caplet anterior. No obtengo una estructura de términos de volatilidad adecuada que sea consistente con la estructura de volatilidad del mercado, aunque mis precios se ajustan exactamente.

Ya he publicado algo aquí: Precio máximo como opciones de bonos

El tema era otro (más fundamental), pero la respuesta a la que me refiero ahora es esa:

Calibración de Hull-White sobre las volatilidades de las tapas El primer paso es despojar caps vol para obtener caplet vols. Ver por ejemplo: http://www.smileofthales.com/financial/cap-floor-pricing-stripping-the-basics/

Supongamos que se quiere calibrar en cápsulas con caducidades T1

Se comienza con la opción con el vencimiento más cercano T1, luego se determina la volatilidad (T1) que le permite igualar el precio de las cápsulas T1.

Luego, se pasa a T2, el precio de la cápsula es una función de (T1) que ya se conoce y (T2), por lo que se determina el valor de (T2) que te permite igualar el T2 y así sucesivamente, hasta llegar a Tn, y y ya ha terminado.

En el documento de Hull-White del año 2000 proporcionan esta información sobre la calibración del parámetro vol:

Ahora estoy un poco confundido.

1) ¿Cómo configuro la función de volatilidad parametrizada y para qué la calibro? ¿Para el parámetro del tiempo o para los otros dos parámetros?

2) ¿Esto produciría siempre los mismos parámetros y sólo cambia el tiempo? ¿Entonces debo calibrar la T?

3) ¿Cuáles son los puntos de esquina en el tiempo? Quiero calibrar cada Caplet. ¿Son mis T los puntos en el tiempo para los Caplets? ¿Empezando por 0,5 para el primer Caplet (tenor de 6 meses) y luego pasando por 1 - 1,5 - 2,0 - 2,5 y así sucesivamente hasta calibrar cada Caplet?

Estoy realmente confundido y agradecería si alguien pudiera servirme una gran respuesta fundamental sobre la parametrización.

Espero que puedan ayudarme.

Gracias de antemano

Answer 1

En la pregunta a la que se refiere, hemos establecido que el caplet tiene una fórmula de forma cerrada bajo el modelo Hull-White, con la volatilidad implícita de Black $\Sigma$ una función de la volatilidad de Hull-White $\sigma$ estructura de plazos desde 0 y hasta el vencimiento del caplet $T$ : $$ \Sigma^2(0,T)=B(T,T+\delta)^2\int_0^T e^{−2a(T−u)}\sigma^2(u)du $$

Para calibrar en una cesta de cápsulas, con caducidades $0 < T_1 < T_2 < \dots < T_n$ se puede elegir una estructura de plazos a trozos para la volatilidad de Hull-White, con pilares correspondientes a estos vencimientos $(T_i)_i$ . Es decir: $$ \sigma(t) = \sigma_i, \quad T_{i-1} < t \leq T_i $$

En este caso, puede utilizar un procedimiento bootstrap para calibrar cada valor $\sigma_i$ en un instrumento de calibración. En el primer paso, sólo $\sigma_1$ es desconocido, y lo resuelves: $$ \begin{aligned} \Sigma^2_\text{market}(0, T_1) &= \Sigma^2(0, T_1) \\ &= B(T_1, T_1 + \delta)^2 \sigma_1^2 \int_0^{T_1} e^{-2a(T_1 - u)}du \end{aligned} $$ Luego, se pasa a $T_2$ y resolver para $\sigma_2$ : $$ \begin{aligned} \Sigma^2(0,T_2)_\text{market} &= \Sigma^2(0,T_2)\\ &=B(T_2,T_2+\delta)^2\left[\int_0^{T_1}e^{−2a(T_2−u)}\sigma^2(u)du+\int_{T_1}^{T_2}e^{−2a(T_2−u)}\sigma^2(u)du \right] \\ &=B(T_2,T_2+\delta)^2 \left[\sigma^2_1 \int_0^{T_1}e^{−2a(T_2−u)}du+\sigma^2_2 \int_{T_1}^{T_2}e^{−2a(T_2−u)}du \right] \end{aligned} $$ y así sucesivamente...

Pero, ¿qué pasa con la reversión de la media?

Depende de para qué quiera utilizar su modelo calibrado por Hull-While, pero se me ocurren dos posibilidades:

• Introduzca un valor de reversión media (determinado, por ejemplo, estadísticamente a partir de la observación de las series temporales de los tipos, o utilizando el razonamiento macroeconómico, etc.);
• O bien, antes de hacer la rutina anterior, considere la constante de la volatilidad y calibre la reversión de la media y el vol constante que minimicen la suma de los errores al cuadrado en toda su cesta de calibración. A continuación, utilice esta reversión de la media en la rutina bootstrap descrita anteriormente.