Equilibrio de Nash en un juego de negociación

Question

Tengo una pregunta que hacer sobre el juego de la demanda de Nash de mi asignación.

Sarah y Ruth encuentran \$100 on the ground and decide to split it between them in the following manner. Each individual simultaneously and independently selects how much of the \$ 100 que quiere conservar. Denote este valor por $xi$ . Si $+100$ , entonces cada jugador recibe la cantidad que desea. Si $+>100$ , pierden la \$100, and each player receives \$ 0. Encuentre todos los equilibrios de Nash. Explica cómo llegas a tu conclusión (es decir, cómo sabes que tu respuesta es exhaustiva).

Creo que he resuelto el Equilibrio de Nash de Estrategia Pura para este juego que es básicamente $+=100$ . Pero me pregunto si hay algún Equilibrio de Nash de estrategia mixta, así que si alguien pudiera ayudarme se lo agradecería mucho. :)

Answer 1

El equilibrio de Nash es un par de estrategias . Por lo tanto, su respuesta tiene que dar dos estrategias. La definición informal es " par de estrategias que son las mejores respuestas entre sí ".

Así que tomemos una estrategia arbitraria; digamos que cada jugador elige 50. ¿Puede alguien ganar jugando 51 o 49? No, así que (50, 50) es una NE. Como dice su ecuación, dos estrategias cualesquiera que sumen 100 constituyen un PSNE. Porque no puede haber ninguna desviación rentable para ninguno de los dos jugadores (la prueba es trivial; demuestre que jugar menos da menos, y que jugar más, da menos para cualquier par de estrategias que sumen 100)

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Ahora sobre MSNE. Una buena manera de empezar a pensar en ello es tomar una estrategia arbitraria y jugar con ella. De esta manera no encontrará MSNE.

La otra forma de buscarlas es encontrar un punto en el que dos estrategias hagan indiferentes a los jugadores entre sus opciones y sean también las mejores respuestas. Sólo he podido encontrar esto en el caso simétrico.

Hay algunos MSNE si juegas a las estrategias $( a_1, a_2 )$ donde $a_1+a_2 = 100$ y sus probabilidades de mezcla son $P(a_1) = a_1/a_2$ (suponiendo que $a_1 < a_2)$ . Un ejemplo sería jugar $(10, 90)$ con probabilidades $(11.111, 88.888)$ . Esto hace que el oponente sea indiferente entre $10$ y $90$ Y como tal podría jugar la estrategia del espejo, siendo ambos indiferentes a cualquier mezcla y siendo ambos la mejor respuesta al otro.

No he encontrado ningún otro caso de MSNE, ni siquiera después de algunos trabajos.

Answer 2

Hay una caracterización completa de los equilibrios en Malueg (2010) [1].

La estructura de estos equilibrios es, en cierto modo, una generalización de la propiedad mencionada en la pregunta: que las demandas deben sumar 100. En cambio, para cada demanda $x_s$ que Sarah hace con probabilidad positiva, hay cierta probabilidad de que Ruth exija exactamente el resto $100 - x_s$ .

Formalmente, supongamos que un jugador mezcla sobre algún conjunto A, y el otro - sobre el conjunto B. Hay un único equilibrio para cualquier A y B cerrado no vacío tal que $1 \notin A\cup B$ si estos conjuntos son equilibrado es decir

$$ s \in A \iff (100-s) \in B$$

No es necesario que los conjuntos A y B sean idénticos o finitos. Además, estos son los únicos equilibrios (véase la Proposición 1 del documento).

Los equilibrios contienen efectivamente un átomo. Para un ejemplo concreto (ejemplo 3 del documento) tomemos cualquier $a \in (0,1/2]$ y $A = B = [a,1-a]$ . Cada jugador mezcla completamente este conjunto con CDF:

$$F(s)=\begin{cases} 0 & \text{if } s<a \\ \frac{a}{1-s} & \text{if } a \le s \le 1-a \\ 1 & \text{if } 1-a<s \le 1 \end{cases}$$

Es decir, con probabilidad $a/(1-a)$ el jugador puja $x_i=a$ La demanda más baja en $A$ y, por otra parte, exige más, digamos $s$ . Si exige más, se corre el riesgo de pasar de 100 si el otro jugador exige más que $1-s$ que se produce con una probabilidad exacta $1-F(1-s)$ por simetría. A continuación, podemos comprobar que todas las acciones en el soporte traen consigo iguales recompensas, como es necesario para el equilibrio de Nash, a saber $s \times F(1-s) = a$ .

[1]: Malueg, David A. "Mixed-strategy equilibria in the Nash Demand Game". Economic Theory 44.2 (2010): 243-270. Está en acceso abierto - https://core.ac.uk/download/pdf/81838757.pdf