Confusión sobre la reproducción de una opción de compra

Question

Supongamos un modelo Black-Scholes estándar, $$dS(t)=S(t)(rdt+\sigma dW(t))$$ donde $\sigma$ es una constante y $W(t)$ es un movimiento browniano bajo la medida de riesgo neutro.
Una opción call es replicable, por lo que si estamos largos en una call y operamos continuamente (en teoría) según el negativo del delta de la opción, en teoría deberíamos acabar con 0 al final ya que las dos posiciones se anulan, y así es como determinamos el precio de la opción call. Hay una cosa que no entiendo aquí. Entre los parámetros de entrada en el modelo Black-Scholes, $\sigma$ se trata como una constante, por lo que no hay Pnl asociado a $\sigma$ somos delta neutro por lo que no hay Pnl asociado con $\delta$ también, y como cubrimos continuamente, no hay Pnl gamma (¿supongo?); pero ¿por qué no tenemos un Pnl asociado a theta en este caso ya que theta no está cubierta?

Answer 1

• En Black Scholes $$\frac{dS}{S}=rdt+\sigma dW$$

• $dC_{BS}(S,t)=\underbrace{\frac{\partial C_{BS}}{\partial t}dt}_{Theta PnL}+\underbrace{\frac{\partial C_{BS}}{\partial S}dS}_{DeltaPnL}+\underbrace{\frac{1}{2}\frac{\partial^2 C_{BS}}{\partial S^2}dS^2}_{GammaPnL}$

• $dC_{BS}(S,t)=\frac{\partial C_{BS}}{\partial t}dt+\frac{\partial C_{BS}}{\partial S}dS+\frac{1}{2}\frac{\partial^2 C_{BS}}{\partial S^2}\sigma^2S^2dt$

• Tenga en cuenta que $dC_{BS}(S,t)$ es sólo el PnL de opción que existe en el mundo BS ya que el spot $S$ seguir la dinámica de BS

• Suponiendo dividendos a tipo cero, $\theta_{BS} = -\frac{1}{2}\Gamma_{BS} S^2 \sigma^2$

• Opción con cobertura delta PnL en el mundo BS = $\frac{1}{2}\Gamma_{BS} S^2 [(\frac{dS}{S})^2-\sigma^2dt]= \frac{1}{2}\Gamma_{BS} S^2 [\sigma^2dt-\sigma^2dt]=0$

• Tiene sentido ya que $S$ Según la dinámica de BS, si se cubre según BS delta, el PnL es cero, ya que theta PnL se compensa con gamma PnL.

• Sin embargo, este punto $S$ sigue la dinámica de BS, lo que no es cierto en el mundo real

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• En mundo real , spot $S$ sigue dinámica desconocida

• Denote $C_{mkt}(S,t)$ como precio de mercado de la opción al contado $S_1$ y el tiempo $t$

• $dC_{mkt}=C_{mkt}(S_1,t_1)-C_{mkt}(S_0,t_0)$

• $_{mkt}=\underbrace{\frac{\partial C_{BS}(S,t|\hat\sigma)}{\partial t}dt}_{ThetaPnL}+\underbrace{\frac{\partial C_{BS}(S,t|\hat\sigma)}{\partial S}dS}_{Delta PnL}+\underbrace{\frac{1}{2}\frac{\partial^2 C_{BS}(S,t|\hat\sigma)}{\partial S^2}dS^2}_{GammaPnL}+\underbrace{\frac{\partial C_{BS}(S,t|\hat\sigma)}{\partial \sigma}d\sigma}_{VegaPnL}+\underbrace{\frac{\partial^2 C_{BS}(S,t|\hat\sigma)}{\partial \sigma\partial S}dSd\sigma}_{VannaPnL}+\underbrace{\frac{1}{2}\frac{\partial^2 C_{BS}(S,t|\hat\sigma)}{\partial \sigma^2}(d\sigma)^2}_{VolgaPnL}+...$

• La correlación spot/vol generaría pérdidas y ganancias de vanna, por ejemplo, si se traza la rentabilidad logarítmica del VIX frente a la rentabilidad logarítmica del SPX se obtendría una correlación del -70%.

• Vol-of-vol generaría volga PnL

• En realidad significa que pagas theta por gamma, vanna y volga

• Los modelos más sofisticados, como LV/SV, intentan abordar estos fenómenos del mercado.

Answer 2

Cuando replica la opción, se quita el cuero cabelludo negativamente al cubrir deltas (si está corto de la opción). Ese scalp negativo debería ser compensado por el theta que usted hace al estar corto en la opción, y por lo tanto en neto su opción + cobertura tiene 0 pnl. Obviamente, esto supone volatilidad realizada = volatilidad implícita.

Si tu opción tiene un IV alto pero el subyacente no se mueve, entonces obviamente perderás/ganarás dinero en theta (dependiendo de la opción larga/corta) pero tendrías 0 cambio PnL por la cobertura del subyacente. En este escenario, volatilidad realizada < volatilidad implícita. También en este escenario, la opción está "mal valorada" y por lo tanto hay un PnL distinto de cero.

Obviamente, todo esto supone que los precios de las opciones siguen el modelo BSM, así que tómatelo todo con pinzas cuando entres en el mundo real. Y si te acercas a las opciones desde una perspectiva P o Q.

TLDR: Las opciones hacen perder dinero a theta, los subyacentes hacen perder dinero a gamma. Bajo BSM, si IV = RV, entonces se cancelan y PnL neto es 0.