Tengo una pregunta sobre un ejercicio del capítulo 9 de D. Luenberger, Investment Science, International Edition, en el que sospecho que puede haber una errata.
Ejercicio 8 (Aproximación de certidumbre)
Existe una aproximación útil al equivalente de certeza que es fácil de derivar. Una expansión de segundo orden cerca de $\bar x=E(x)$ da $$U(x)\approx U(\bar x)+U^{'}(\bar x)(x-\bar x)+\frac12U^{''}(\bar x)(x-\bar x)^2$$
Por lo tanto, $$E[U(x)]\approx U(\bar x)+\frac 12 U^{''}(\bar x)var(x)$$ Por otra parte, si dejamos que c denote el equivalente de certeza y suponemos que se aproxima a $\bar x$ podemos utilizar la expansión de primer orden $$U(c)\approx U(\bar x)+U^{'}(\bar x)(c-\bar x)$$ Utilizando estas aproximaciones, demuestre que $$c \approx \bar x+{U^{''}(\bar x) \over U^{'}(\bar x)}var(x)$$
Ahora, utilicé métodos generales de álgebra junto con el hecho de que $E[U(x)] = U(c)$ para demostrar directamente que $$c \approx \bar x+\frac 12 ({U^{''}(\bar x) \over U^{'}(\bar x)})var(x)$$ como sigue:
Tome la tercera ecuación y transfórmela en $$ c\approx \bar x + {U(c)-U(\bar x) \over U^{'}(\bar x)}$$ Ahora todo lo que tengo que hacer es mostrar que el numerador en la parte de la fracción es $\frac 12 U^{''}(\bar x)var(x)$ que se realiza poniendo $E[U(x)] = U(c)$ en la segunda fórmula y verás que el resultado es inmediato.
Además de este trabajo, escribí un ejemplo de una inversión con la función de utilidad logarítmica y demostré que mi aproximación para c funcionaba mientras que la fórmula del libro sin el "2" no lo hacía.
Sin embargo, me gustaría publicar todo esto aquí sólo para verificar que se trata de una errata del libro y no de algún malentendido por mi parte.
Gracias de antemano por cualquier comentario.
