¿cuál es el significado de la diferencial de una arbitraria adaptado proceso aleatorio?

Question

Yo estaba trabajando en la definición de la auto-financiación de la cartera.

Decir $V=\phi_tS_t+\psi_t A_t$ donde $S_t$ e $A_t$ son el precio de las acciones y el dinero de los precios de mercado en tiempo $t$, respectivamente, y $\phi_t$ e $\psi_t$ son las acciones que se invierten en acciones y el mercado de dinero en el tiempo $t$, resp.

Luego me llegó a través de la fórmula como esta: $dV_t$=$\phi_t dS_t$+$\psi_t dA_t$+ $S_t d\phi_t$+$A_t d\psi_t$+$dS_t d\phi_t$+$dA_t d\psi_t$.

No tengo idea de lo que los últimos cuatro términos. Precisamente hablando, no sé qué $d\phi_t$ o $d\psi_t$ significa. Ellos son sólo algunas adaptadas proceso aleatorio y nada más sé acerca de ellos.

Por otra parte, la mayoría de libro de referencia o notas de la conferencia (como esta, página 16), la reivindicación de la fórmula anterior se basa en el lema de Ito. No Ito Lema/fórmula sólo se aplica a Ito proceso?

Muchas Gracias,

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Debo aclarar mi confusión un poco. Si he entendido bien, el diferencial de anotaciones no tienen significado matemático. Sin embargo, para $dS_t$ e $dA_t$, su integrales hacer. Por lo que entiendo $dS_t$ e $dA_t$. Pero, a continuación, $d\phi_t$ o $d\psi_t$ no tiene ningún sentido para mí. Porque ni ellos mismos o las integrales definidas.

Por otra parte, el enfoque de @Neeraj en la ecuación de $3$ es más como un distinto enfoque, que es grande y puedo seguir la lógica. Por otro lado, la nota dice que la ecuación de la siguiente manera a partir de Ito lema. De hecho, incluso vi algunos apuntes decir $dA_t d\psi_t=0$ debido a Ito lema. Los comentarios realmente rompecabezas de mí mucho.

Espero ilustrar mi confusión un poco mejor. Gracias,

Answer 1

Usted ha dado el valor de la cartera en el tiempo $t$ es \begin{equation} V_t=\phi_t S_t + \psi_t A_t \quad \cdots \cdots (1) \end{equation} donde $\phi_t$e $\psi_t$ indicar el número de unidades de la seguridad y de la cuenta de efectivo, respectivamente, que se lleva a cabo en un portafolio en el tiempo t.

Así, el valor de la cartera en el tiempo $t+dt$ sería $$V_{t+dt}=(\phi_t + d\phi_t)(S_t + dS_t) + (\psi_t + d\psi_t)(A_t+dA_t)\quad \cdots \cdots (2)$$ donde $d\phi_t$ e $d\psi_t$ son unidades adicionales comprados o vendidos. Resolver la ecuación (2) y restar la ecuación (1) de la ecuación (2), obtendrá $$V_{t+dt}-V_t = dVt = \phi_t dS_t+\psi_t dA_t+ S_t d\phi_t+A_t d\psi_t+dS_t d\phi_t+dA_t d\psi_t \quad\cdots (3)$$ Recuerde, en la auto-financiación de la cartera, no es exógeno de la infusión o la retirada de dinero; la compra de un nuevo activo que debe ser financiada por la venta de una vieja. Por eso, $d\phi_t$ e $d\psi_t$ debe ser cero. Así, el pasado cuatro de término en la ecuación se desvanecerá y se llevará a $$dV_t= \phi_t dS_t+\psi_t dA_t$$

Esto es exactamente lo indicado en las notas de la conferencia.

Answer 2

Deje $[X,Y]_t$ ser el cuadrática covariación de dos procesos de $X$ e $Y$ a tiempo $t$. El real significado preciso de $dXdY$ es $$dXdY= d[X,Y]_t$$ For example, the quadratic covariation of a Brownian motion $B_t$ with itself is $t$, so $$dB_t dB_t = d[B_t,B_t]_t=dt$$.