¿Cómo puedo estimar los parámetros de una opción de modelo del valor de la jubilación?

Question

Yo soy la modelización de una opción de modelo del valor de la jubilación, véase, por ejemplo, Stock y Sabio (1990). Sin embargo no estoy seguro de a qué clase de problemas de este modelo se encuentra en y, por tanto, que el método de optimización que debo considerar para resolver el problema. Para aclarar lo que quiero decir, en primer lugar se describe el modelo:

El objetivo es encontrar las probabilidades de retirarse en un año específico, y los parámetros $\rho$, $\gamma$, $k$, $\beta$ en: \begin{eqnarray} Pr[\text{retire}_t] & = & Pr[ g_t( r^{*}_t ) / K_t( r^{*}_t ) < - v_t ], \\ v_{s} & = & \rho v_{s-1} + \epsilon_t \\ g_t(r_t) & = & \sum^{r-1}_{s=t} \beta^{s-t} \pi(s|t) E_t(Y_s^{\gamma}) + \sum^{S}_{s=r} \beta^{s-t} \pi(s|t) E_t( [k B_s(r)]^{\gamma} ) \\ & - & \sum^{S}_{s=r} \beta^{s-t} \pi(s|t) E_t( [ k B_s(t)]^{\gamma} ), \\ K_t( r_t ) & = & \sum^{r-1}_{s=t} \beta^{s-t} \pi(s|t) \rho^{s-t}, \\ v_t & = & (\omega_t - \xi_t ) \end{eqnarray} Aquí $Y_s$ son salarios futuros y $B_s(t)$ son ingresos de jubilación con $\pi(s|t)$ la probabilidad de que una persona va a vivir en el año s, dado que ella o él vive en el año $t$. $r^{*}_t$ es el año en el que el valor del flujo futuro de ingresos está maximizada. El valor del flujo futuro de ingresos si la jubilación es la edad de $r$ está dada por: \begin{eqnarray} V_t(r) & = & \sum^{r-t}_{s=t} \beta^{s-t} U_w(Y_s) + \sum^{S}_{s=r} \beta^{s-t} U_r[B_s(r)], \\ U_w(Y_s) & = & Y_s^{\gamma} + \omega_s, \\ U_r(B_s) & = & [ k B_s(r)]^{\gamma} + \xi_s, \\ \omega_s & = & \rho \omega_{s-1} + \epsilon_{\omega,s} \\ \xi_s & = & \rho \xi_{s-1} + \epsilon_{\xi, s} \end{eqnarray}

Normalmente se podría resolver este tipo de cuestiones por considerar como un factor dinámico del modelo o con el de máxima verosimilitud. Sin embargo, la sumatoria $\sum$ hace difícil ya que el 'óptimo' fecha de retirment $r$ es un parámetro propio.

Así que, en resumen, ¿cómo clasificarías este problema y que las técnicas de optimización recomiendas? Tal vez saber los paquetes o sabe donde puedo encontrar un código para resolver esto?

Answer 1

¿Has probado un swaption tener una marcada del mercado del nocional N en t_1=edad de jubilación?

De t_0=firma del contrato hasta t_1, recibirá la tasa de r_payments y pagar el riesgo-libre/tasa de inversión. A continuación, usted paga una predifined tasa de r_retirement y usted paga en el riesgo-libre/tasa de inversión hasta t_2=tiempo de la muerte.

Desde su punto de vista, usted está expuesto al riesgo de impago de la contraparte (la muerte), dado por la tasa de supervivencia, con la recuperación nocional ser N. Si no se invierte en la tasa libre de riesgo, que son sensibles, además, el riesgo de crédito de la contraparte de invertir en. Está generando el riesgo de crédito (impago) de ti mismo.

Todos los que entran parámetros son prácticamente conocido, especialmente si usted no hace uso de la tasa de interés sin riesgo, con riesgo de crédito modellable a través de los spreads.

El nocional N podría, además de ser una mejor función que, debido a la falta de pagos, no es necesariamente proporcional con (t_1-t_0) y que podría puente también por medio de un ajuste a r_payments.

Answer 2

En principio, esto parece ser un trabajo para la política de la iteración. En las opciones de fijación de precios, podemos política de uso de la iteración para principios de las condiciones de ejercicio (o de otros intermedio de los tiempos de parada) como se ve, por ejemplo, aquí y aquí.

En la práctica, ya que el problema de la identificación de $r^*$ es sólo uno-dimensional y de valor entero, usted puede encontrar que es más fácil y rápido, simplemente recorrer posibles valores de $r^*$ a identificar el óptimo como un bucle interno de la optimización de su proceso de $\rho, \gamma, k, \beta$.

Es decir, el código de la función objetivo en el que se encuentran la determinación de los parámetros que se parece a esto:

myObj(rho, gamma, k, beta, observedProb) {
  for r in (1:100) {
    retireValue[r] = V_t(r)
  }
  rStar = argmax( retireValue )
  dist = modelRetirePro(rStar, rho, gamma, k, beta) - observedProb
  return dist*dist
}