Problema con derivating integral

Question

Tengo una duda : Sé que si $x_{t}=\int_{0}^{t}\gamma(s)dW_{s}$ (con $W_{s}$ un movimiento browniano), tenemos : $dx_{t}=\gamma(t)dW_{t}$ ¿Qué acerca de si $x_{t}=\int_{0}^{t}\gamma(s,t)dW_{s}$. ¿Tengo que aplicar un tipo de Lieibniz regla para obtener $dx_{t}$ ? Si es así ¿cuál es el resultado ? Tx !

Answer 1

Suponemos que $\gamma(s, t)$ es diferenciable con respecto a $t$. A continuación, \begin{align*} dx_t = \left(\int_0^t \frac{\partial\gamma(s, t)}{\partial t} dW_s \right)dt + \gamma(t, t) dW_t. \end{align*}